Calcular o fluxo do campo
através da face externa do hiperbolóide
limitado pelos planos
e
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial
através da face externa do hiperbolóide
, limitado pelos planos
e
.
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, mais especificamente o Teorema da Divergência.
O que vamos precisar:
- Entender o conceito de fluxo de um campo vetorial.
- Aplicar o Teorema da Divergência para simplificar o cálculo.
- Configurar as integrais necessárias para os limites dados.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanta “quilo” do campo está passando por essa superfície. Matematicamente, é representado por uma integral de superfície.
Mas calcular diretamente essa integral pode ser complicado. Por isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume limitado pela superfície.
Teorema da Divergência:
onde:
-
é a superfície fechada. -
é o vetor normal à superfície. -
é a divergência do campo .
Passo 3
Vamos calcular a divergência do campo
.
A divergência é dada por:
onde
.
No nosso caso:
Calculando cada derivada:
Para
:
(não depende de
)
Então:
Passo 4
Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Para isso, precisamos considerar a superfície fechada que inclui o hiperbolóide e as duas bases nos planos
e
.
Ou seja, temos três superfícies:
- O hiperbolóide
. - A base inferior no plano
. - A base superior no plano
.
Segundo o teorema:
Nosso objetivo é calcular o fluxo apenas através do hiperbolóide. Então, precisamos subtrair os fluxos das duas bases.
Passo 5
Primeiro, vamos calcular a integral de volume:
Para encontrar o volume
, observamos que o hiperbolóide está limitado entre
e
. Em coordenadas cilíndricas
, temos:
Os limites para
variam de
(quando
) até
(quando
).
Então, a integral de volume em coordenadas cilíndricas é:
Calculando essa integral:
Fazendo a substituição
,
:
Portanto:
Passo 6
Agora, vamos calcular os fluxos através das duas bases.
Base inferior (
):
No plano
, a equação do hiperbolóide dá:
Então, a região é o círculo de raio
no plano
.
O vetor normal
aponta para fora, ou seja, na direção negativa de
:
.
O campo
em
é:
Então:
Portanto, o fluxo através da base inferior é
.
Base superior (
):
No plano
, a equação do hiperbolóide dá:
Então, a região é o círculo de raio
no plano
.
O vetor normal
aponta para fora, ou seja, na direção positiva de
:
.
O campo
em
é:
Então:
O fluxo através da base superior é:
Passo 7
Agora, aplicando o Teorema da Divergência:
Resposta
O fluxo do campo
através da face externa do hiperbolóide é 0.
Exercícios relacionados
Encontrar o fluxo do campo
através da parte externa da superfície
abaixo do plano
.
Em cada uns dos problemas encontre a solução do PVI por meio da transformada de Laplace.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.
Calcule a posição
do centro de massa da região D onde: D é a região entre as superfícies:
e