Calcular o fluxo do campo através da face externa do hiperbolóide limitado pelos planos e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular o fluxo do campo vetorial através da face externa do hiperbolóide , limitado pelos planos e .
Matéria envolvida: Cálculo Vetorial, mais especificamente o Teorema da Divergência.
O que vamos precisar:
  • Entender o conceito de fluxo de um campo vetorial.
  • Aplicar o Teorema da Divergência para simplificar o cálculo.
  • Configurar as integrais necessárias para os limites dados.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é fluxo. O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície mede quanta “quilo” do campo está passando por essa superfície. Matematicamente, é representado por uma integral de superfície.
Mas calcular diretamente essa integral pode ser complicado. Por isso, vamos usar o Teorema da Divergência, que relaciona o fluxo de um campo vetorial através de uma superfície fechada com a integral da divergência desse campo sobre o volume limitado pela superfície.
Teorema da Divergência:
onde:
  • é a superfície fechada.
  • é o vetor normal à superfície.
  • é a divergência do campo .

Passo 3

Vamos calcular a divergência do campo .
A divergência é dada por:
onde .
No nosso caso:
Calculando cada derivada:
Para :
(não depende de )
Então:

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Teorema da Divergência. Para isso, precisamos considerar a superfície fechada que inclui o hiperbolóide e as duas bases nos planos e .
Ou seja, temos três superfícies:
  1. O hiperbolóide .
  2. A base inferior no plano .
  3. A base superior no plano .
Segundo o teorema:
í
Nosso objetivo é calcular o fluxo apenas através do hiperbolóide. Então, precisamos subtrair os fluxos das duas bases.

Passo 5

Primeiro, vamos calcular a integral de volume:
Para encontrar o volume , observamos que o hiperbolóide está limitado entre e . Em coordenadas cilíndricas , temos:
Os limites para variam de (quando ) até (quando ).
Então, a integral de volume em coordenadas cilíndricas é:
Calculando essa integral:
Fazendo a substituição , :
Portanto:

Passo 6

Agora, vamos calcular os fluxos através das duas bases.
Base inferior ( ):
No plano , a equação do hiperbolóide dá:
Então, a região é o círculo de raio no plano .
O vetor normal aponta para fora, ou seja, na direção negativa de : .
O campo em é:
Então:
Portanto, o fluxo através da base inferior é .
Base superior ( ):
No plano , a equação do hiperbolóide dá:
Então, a região é o círculo de raio no plano .
O vetor normal aponta para fora, ou seja, na direção positiva de : .
O campo em é:
Então:
O fluxo através da base superior é:
Áí

Passo 7

Agora, aplicando o Teorema da Divergência:
ó
ó

Resposta

O fluxo do campo através da face externa do hiperbolóide é 0.

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