Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.
sumn=1^infty (5 x-4)^nn^3

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=1^infty (5x - 4)^nn^3
Aqui, estamos lidando com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo uma variável . Para encontrar onde essa série converge (isto é, onde a soma não vai ao infinito), vamos precisar usar o Teste da Razão e entender um pouco sobre convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série de potências na forma geral:
sumn=1^infty cn (x - a)^n
No nosso caso, temos e a série está centrada em , já que podemos reescrever como .

Passo 3

Agora, para encontrar o raio de convergência R = limn to infty | cncn+1 | , usamos o Teste da Razão, que nos diz que:
cncn+1 = 5^nn^35^n+1(n+1)^3 = 5^n cdot (n+1)^3n^3 cdot 5^n+1 = (n+1)^35n^3
Vamos calcular esse limite com :

Passo 4

Calculando o limite:
R = limn to infty (n+1)^35n^3 = 15 cdot limn to infty ( n+1n )^3 = 15 cdot 1^3 = 15
Então, o raio de convergência .

Passo 5

Com o raio de convergência, podemos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para valores de |5x - 4| < 1 tais que:
|5x - 4| < 1 -1 < 5x - 4 < 1 -1 + 4 < 5x < 1 + 4 3 < 5x < 5 35 < x < 1
Vamos resolver essa desigualdade:
Então, o intervalo de convergência é .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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