Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício juntos. O enunciado pede para encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência da série de potências:
Aqui, estamos lidando com séries de potências, que são somas infinitas envolvendo uma variável . Para encontrar onde essa série converge (isto é, onde a soma não vai ao infinito), vamos precisar usar o Teste da Razão e entender um pouco sobre convergência de séries.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a série de potências na forma geral:
No nosso caso, temos e a série está centrada em , já que podemos reescrever como .

Passo 3

Agora, para encontrar o raio de convergência , usamos o Teste da Razão, que nos diz que:
Vamos calcular esse limite com :

Passo 4

Calculando o limite:
Então, o raio de convergência .

Passo 5

Com o raio de convergência, podemos determinar o intervalo de convergência. Sabemos que a série converge para valores de tais que:
Vamos resolver essa desigualdade:
Então, o intervalo de convergência é .

Resposta

O raio de convergência é e o intervalo de convergência é .

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