Calcule a posição do centro de massa da região D onde: D é a região entre as superfícies: e

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a posição do centro de massa da região . A região está entre as superfícies e , onde . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo de centro de massa em geometria tridimensional, utilizando integrais para determinar as coordenadas do centro de massa.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a região . A superfície é o plano xy, e descreve uma superfície que depende de e . É mais fácil trabalhar nesse caso usando coordenadas cilíndricas, porque a expressão envolve , que se converte em nas coordenadas cilíndricas.
Nas coordenadas cilíndricas:
  • O elemento de volume

Passo 3

Vamos determinar os limites de integração. Observando a superfície :
  • varia de 0 até
  • varia de 0 até (quando , )
  • varia de 0 a para cobrir toda a volta ao redor do eixo z

Passo 4

Agora, vamos calcular o volume da região . O volume em coordenadas cilíndricas é dado por:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, o volume fica:
Integrando em relação a :
Finalmente, integrando em relação a :

Passo 5

Agora, vamos calcular o momento para encontrar . O momento em relação ao plano xy é dado por:
Em coordenadas cilíndricas:
Primeiro, integramos em relação a :
Então, o momento fica:
Expandindo :
Portanto:
Integrando em relação a :
Finalmente, integrando em relação a :

Passo 6

Para encontrar a posição do centro de massa, usamos a fórmula:
Substituindo os valores que encontramos:

Resposta

A posição do centro de massa da região é .

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