Se a função característica de uma variável aleatória é varphiX(t)=exp 3 times(e^it-1), determine P(X=0).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função característica de uma variável aleatória $ X $, que é dada por:
X
O objetivo é determinar a probabilidade de $ X $ ser igual a zero, ou seja, $ \mathrm{P}(\mathrm{X}=0) $.

Passo 2

Para resolver isso, precisamos lembrar o que é uma função característica. A função característica de uma variável aleatória nos ajuda a identificar a distribuição dessa variável. No caso, a função característica dada se parece muito com a de uma distribuição de Poisson.

Passo 3

A função característica da distribuição de Poisson com parâmetro $ \lambda $ é:
lambda
Comparando com a função que temos na questão, vemos que $ \lambda = 3 $. Portanto, $ X $ segue uma distribuição de Poisson com parâmetro $ \lambda = 3 $.

Passo 4

Sabendo que $ X $ é Poisson, podemos usar a fórmula da probabilidade para um valor específico $ k $:
X
Queremos encontrar $ \mathrm{P}(X = 0) $, então substituímos $ k = 0 $:
k

Passo 5

Agora, calculamos os valores:
3^0 = 1 e 0! = 1
Portanto:
P(X = 0) = 1 times e^-31 = e^-3

Resposta

P(X = 0) = e^-3

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