Se a função característica de uma variável aleatória é
, determine
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função característica de uma variável aleatória $ X $, que é dada por:
O objetivo é determinar a probabilidade de $ X $ ser igual a zero, ou seja, $ \mathrm{P}(\mathrm{X}=0) $.
Passo 2
Para resolver isso, precisamos lembrar o que é uma função característica. A função característica de uma variável aleatória nos ajuda a identificar a distribuição dessa variável. No caso, a função característica dada se parece muito com a de uma distribuição de Poisson.
Passo 3
A função característica da distribuição de Poisson com parâmetro $ \lambda $ é:
Comparando com a função que temos na questão, vemos que $ \lambda = 3 $. Portanto, $ X $ segue uma distribuição de Poisson com parâmetro $ \lambda = 3 $.
Passo 4
Sabendo que $ X $ é Poisson, podemos usar a fórmula da probabilidade para um valor específico $ k $:
Queremos encontrar $ \mathrm{P}(X = 0) $, então substituímos $ k = 0 $:
Passo 5
Agora, calculamos os valores:
Portanto: