Calcular as funções características das variáveis aleatórias seguintes: Uniforme (a,b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular as funções características de uma variável aleatória que segue uma distribuição Uniforme no intervalo
. A função característica é uma ferramenta importante na estatística e probabilidade que nos ajuda a entender melhor o comportamento da variável aleatória. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente integrais, e entender a definição de função característica.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função característica. Ela é definida como o valor esperado de $ e^{itX} $, onde $ X $ é a variável aleatória e $ t $ é um número real. Matematicamente, fica assim:
Aqui, $ f_X(x) $ é a função densidade de probabilidade da variável $ X $.
Passo 3
No nosso caso, $ X $ segue uma distribuição Uniforme no intervalo
. A função densidade para essa distribuição é:
Isso significa que a probabilidade é distribuída igualmente entre $ a $ e $ b $.
Passo 4
Agora, substituímos $ f_X(x) $ na fórmula da função característica:
Já que $ f_X(x) $ é zero fora de
, os limites da integral mudam para $ a $ e $ b $.
Passo 5
Vamos resolver a integral:
A integral de $ e^{itx} $ em relação a $ x $ é $ \frac{e^{itx}}{it} $. Então:
Passo 6
Substituindo de volta na expressão da função característica:
Podemos simplificar um pouco mais, se desejar:
Resposta
A função característica da variável aleatória uniforme
é: