Calcular as funções características das variáveis aleatórias seguintes: Uniforme (a,b)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede para calcular as funções características de uma variável aleatória que segue uma distribuição Uniforme no intervalo (a, b). A função característica é uma ferramenta importante na estatística e probabilidade que nos ajuda a entender melhor o comportamento da variável aleatória. Para resolver isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especialmente integrais, e entender a definição de função característica.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função característica. Ela é definida como o valor esperado de $ e^{itX} $, onde $ X $ é a variável aleatória e $ t $ é um número real. Matematicamente, fica assim:
e^itX
Aqui, $ f_X(x) $ é a função densidade de probabilidade da variável $ X $.

Passo 3

No nosso caso, $ X $ segue uma distribuição Uniforme no intervalo X . A função densidade para essa distribuição é:
(a, b)á
Isso significa que a probabilidade é distribuída igualmente entre $ a $ e $ b $.

Passo 4

Agora, substituímos $ f_X(x) $ na fórmula da função característica:
fX(x)
Já que $ f_X(x) $ é zero fora de phiX(t) = integral-infty^infty e^itx fX(x) , dx = integrala^b e^itx cdot 1b - a , dx , os limites da integral mudam para $ a $ e $ b $.

Passo 5

Vamos resolver a integral:
phiX(t) = 1b - a integrala^b e^itx , dx
A integral de $ e^{itx} $ em relação a $ x $ é $ \frac{e^{itx}}{it} $. Então:
e^itx

Passo 6

Substituindo de volta na expressão da função característica:
phiX(t) = 1b - a cdot e^itb - e^itait
Podemos simplificar um pouco mais, se desejar:
phiX(t) = e^ita - e^itbit(b - a)

Resposta

A função característica da variável aleatória uniforme (a, b) é:
phiX(t) = e^ita - e^itbit(b - a)

Exercícios relacionados