Calcular as funções características das variáveis aleatórias seguintes:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as funções características das variáveis aleatórias que seguem a distribuição Gama com parâmetros $ a $ e $ p $. A função característica é uma ferramenta poderosa em probabilidade que nos ajuda a entender melhor o comportamento da variável aleatória. Vamos precisar usar a definição da função característica e integrar usando a função densidade da distribuição Gama.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a função característica. A função característica $ \phi_X(t) $ de uma variável aleatória $ X $ é definida por:
onde $ i $ é a unidade imaginária e $ t $ é um número real.
Passo 3
Para a distribuição Gama $ Gama(a, p) $, a função densidade de probabilidade é:
onde $ \Gamma(a) $ é a função gama, que generaliza o fatorial para números reais.
Passo 4
Vamos inserir a função densidade na definição da função característica:
Passo 5
Simplificando os exponentes, temos:
Passo 6
Reconhecemos que a integral é a definição da função gama com argumento $ p - it $:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão da função característica:
Resposta
A função característica da variável aleatória seguindo a distribuição Gama $ Gama(a, p) $ é: