Calcular as funções características das variáveis aleatórias seguintes: Gama(a, p)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular as funções características das variáveis aleatórias que seguem a distribuição Gama com parâmetros $ a $ e $ p $. A função característica é uma ferramenta poderosa em probabilidade que nos ajuda a entender melhor o comportamento da variável aleatória. Vamos precisar usar a definição da função característica e integrar usando a função densidade da distribuição Gama.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a função característica. A função característica $ \phi_X(t) $ de uma variável aleatória $ X $ é definida por:
phiX(t)
onde $ i $ é a unidade imaginária e $ t $ é um número real.

Passo 3

Para a distribuição Gama $ Gama(a, p) $, a função densidade de probabilidade é:
Gama(a, p)
onde $ \Gamma(a) $ é a função gama, que generaliza o fatorial para números reais.

Passo 4

Vamos inserir a função densidade na definição da função característica:
phiX(t) = integral0^infty e^itx cdot p^aGamma(a) x^a-1 e^-p x , dx

Passo 5

Simplificando os exponentes, temos:
phiX(t) = p^aGamma(a) integral0^infty x^a-1 e^-(p - it)x , dx

Passo 6

Reconhecemos que a integral é a definição da função gama com argumento $ p - it $:
p - it

Passo 7

Substituindo de volta na expressão da função característica:
phiX(t) = p^aGamma(a) cdot Gamma(a) (p - it)^-a = ( pp - it )^a

Resposta

A função característica da variável aleatória seguindo a distribuição Gama $ Gama(a, p) $ é:
Gama(a, p)

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