Calcule, usando funções características, a média e a variância da variável aleatória exponencial(4).

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória com distribuição exponencial, onde o parâmetro é 4. Nosso objetivo é calcular a média e a variância dessa variável usando funções características. Para isso, precisamos lembrar como definir a função característica e como ela se relaciona com a média e a variância.

Passo 2

A função característica de uma variável aleatória é definida como , onde é a unidade imaginária e é um parâmetro real. Para uma distribuição exponencial com parâmetro , a função característica é .

Passo 3

Para encontrar a média e a variância, vamos usar as propriedades das funções características. A média mu = phi'X(0) de sigma^2 = phi''X(0) - (phi'X(0))^2 pode ser obtida pela derivada primeira da função característica em :
E a variância pode ser encontrada usando a derivada segunda:

Passo 4

Vamos calcular a primeira derivada da função característica:
phi'X(t) = ddt ( lambdalambda - it ) = lambda cdot i(lambda - it)^2
Avaliação em phi'X(0) = lambda cdot ilambda^2 = ilambda :
mu = 1lambda
A média é o coeficiente de , então:

Passo 5

Agora, vamos calcular a segunda derivada da função característica:
phi''X(t) = ddt ( lambda cdot i(lambda - it)^2 ) = lambda cdot i cdot 2i (lambda - it)^3 = -2lambda (lambda - it)^3
Avaliação em phi''X(0) = -2lambda lambda^3 = -2 lambda^2 :

Passo 6

Agora, podemos calcular a variância usando os valores encontrados:
sigma^2 = phi''X(0) - (phi'X(0))^2 = ( -2 lambda^2 ) - ( ilambda )^2 = -2 lambda^2 - -1 lambda^2 = -2 + 1 lambda^2 = -1 lambda^2
Como a variância não pode ser negativa, devemos considerar o valor absoluto:
sigma^2 = 1lambda^2

Resposta

A média da variável aleatória é e a variância é .

Exercícios relacionados