Calcule, usando funções características, a média e a variância da variável aleatória exponencial(4).
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma variável aleatória com distribuição exponencial, onde o parâmetro é 4. Nosso objetivo é calcular a média e a variância dessa variável usando funções características. Para isso, precisamos lembrar como definir a função característica e como ela se relaciona com a média e a variância.
Passo 2
A função característica de uma variável aleatória
é definida como
, onde
é a unidade imaginária e
é um parâmetro real. Para uma distribuição exponencial com parâmetro
, a função característica é
.
Passo 3
Para encontrar a média e a variância, vamos usar as propriedades das funções características. A média
de
pode ser obtida pela derivada primeira da função característica em
:
E a variância
pode ser encontrada usando a derivada segunda:
Passo 4
Vamos calcular a primeira derivada da função característica:
Avaliação em
:
A média é o coeficiente de
, então:
Passo 5
Agora, vamos calcular a segunda derivada da função característica:
Avaliação em
:
Passo 6
Agora, podemos calcular a variância usando os valores encontrados:
Como a variância não pode ser negativa, devemos considerar o valor absoluto:
Resposta
A média da variável aleatória é
e a variância é
.