Sejam
variáveis aleatórias independentes com distribuição exponencial de parâmetro
. Determine a distribuição de
.
Passo 1
Então, a gente tem um monte de variáveis aleatórias, chamadas de $ X_{1}, X_{2}, ···, X_{n} $, que são independentes e seguem uma distribuição exponencial com parâmetro $ \lambda $. O que precisamos descobrir é como fica a distribuição de $ Y = 2 \lambda \sum_{i=1}^{n} X_{i} $. Para isso, vamos usar conceitos de distribuições exponenciais e Gamma.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando somamos várias variáveis exponenciais independentes todas com o mesmo parâmetro $ \lambda $, o resultado segue uma distribuição Gamma. Mais especificamente, se temos $ n $ variáveis exponenciais, a soma $ \sum_{i=1}^{n} X_{i} $ segue uma distribuição Gamma com forma $ k = n $ e taxa $ \lambda $. A fórmula da distribuição Gamma é:
Passo 3
Agora, queremos encontrar a distribuição de $ Y = 2 \lambda S $, onde $ S = \sum_{i=1}^{n} X_{i} $. Para isso, vamos usar uma propriedade de escala da distribuição Gamma. Se $ S \sim Gamma(k, \lambda) $, então $ Y = a S $ segue uma distribuição Gamma com os parâmetros ajustados. Especificamente:
No nosso caso, $ a = 2 \lambda $, então:
Passo 4
Portanto, a distribuição de $ Y $ é uma distribuição Gamma com forma $ n $ e taxa $ \frac{1}{2} $. A função de densidade dessa distribuição é:
Resposta
A distribuição de $ Y = 2 \lambda \sum_{i=1}^{n} X_{i} $ é uma distribuição Gamma com parâmetros forma $ n $ e taxa $ \frac{1}{2} $, isto é: