Calcular as integrais indefinidas:
i) integral raiz9-x^22 x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa calcular a integral indefinida de . Isso envolve funções radicais e frações, então provavelmente vamos usar uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão. Vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas e de como fazer substituições para integrais com radicais desse tipo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz: x = 3 sin theta . Isso é parecido com a forma , que sugere usar uma substituição trigonométrica do tipo . Aqui, , então vamos definir:
Isso vai ajudar a simplificar a raiz quadrada usando a identidade .

Passo 3

Agora, vamos encontrar dx = 3 cos theta , dtheta em termos de raiz9 - x^2 = raiz9 - 9 sin^2 theta = raiz9(1 - sin^2 theta) = 3 cos theta . Derivando em relação a , temos:
Também, substituindo na raiz:

Passo 4

Substituindo tudo na integral original:
integral raiz9 - x^22 x^2 , dx = integral 3 cos theta2 (9 sin^2 theta) cdot 3 cos theta , dtheta = integral 9 cos^2 theta18 sin^2 theta , dtheta = 12 integral cos^2 thetasin^2 theta , dtheta
Simplificando mais:
12 integral cot^2 theta , dtheta
Sabemos que 12 integral (csc^2 theta - 1) , dtheta = 12 ( -cot theta - theta ) + C , então:

Passo 5

Agora, precisamos voltar de sin theta = x3 implies theta = arcsin(x3) para . Sabemos que , então:
E .

Passo 6

Substituindo de volta na expressão:
12 ( -raiz9 - x^2x - arcsin(x3) ) + C
Ou seja:
-raiz9 - x^22x - 12 arcsin(x3) + C

Resposta

A integral indefinida é igual a:
-raiz9 - x^22x - 12 arcsin(x3) + C

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