Calcular as integrais indefinidas:
i)
i)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A gente precisa calcular a integral indefinida de
. Isso envolve funções radicais e frações, então provavelmente vamos usar uma substituição trigonométrica para simplificar a expressão. Vamos precisar lembrar das identidades trigonométricas e de como fazer substituições para integrais com radicais desse tipo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro da raiz:
. Isso é parecido com a forma
, que sugere usar uma substituição trigonométrica do tipo
. Aqui,
, então vamos definir:
Isso vai ajudar a simplificar a raiz quadrada usando a identidade
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar
em termos de
. Derivando
em relação a
, temos:
Também, substituindo
na raiz:
Passo 4
Substituindo tudo na integral original:
Simplificando mais:
Sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, precisamos voltar de
para
. Sabemos que
, então:
E
.
Passo 6
Substituindo de volta na expressão:
Ou seja:
Resposta
A integral indefinida é igual a: