Calcular as integrais : integral e^2 x cos ^2 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcularmos . A matéria que estamos lidando aqui envolve integrais de funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração, como a integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cos^2 x = 1 + cos 2x2 usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Essa identidade vai facilitar nossa integração.

Passo 3

Substituímos a expressão de integral e^2x cos^2 x , dx = integral e^2x (1 + cos 2x2) dx = 12 integral e^2x , dx + 12 integral e^2x cos 2x , dx na integral original:
Agora, temos que resolver duas integrais separadas.

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
12 integral e^2x , dx
A integral de 12 cdot 12 e^2x = e^2x4 é , então:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral:
12 integral e^2x cos 2x , dx
Para essa, usaremos a técnica de integração por partes. Vamos lembrar que:
integral u , dv = uv - integral v , du
Escolhemos:
  • integral e^2x cos 2x , dx = e^2x cdot sin 2x2 - integral sin 2x2 cdot 2 e^2x dx = e^2x sin 2x2 - integral e^2x sin 2x , dx integral e^2x sin 2x , dx = -e^2x cos 2x2 + integral cos 2x2 cdot 2 e^2x dx
  • = -e^2x cos 2x2 + integral e^2x cos 2x , dx integral e^2x cos 2x , dx = e^2x sin 2x2 - ( -e^2x cos 2x2 + integral e^2x cos 2x , dx ) integral e^2x cos 2x , dx = e^2x sin 2x2 + e^2x cos 2x2 - integral e^2x cos 2x , dx
Aplicando a fórmula:
2 integral e^2x cos 2x , dx = e^2x (sin 2x + cos 2x)2
Simplificando:
integral e^2x cos 2x , dx = e^2x (sin 2x + cos 2x)4
Agora, temos uma nova integral . Vamos resolver essa também por partes, seguindo o mesmo processo:
Escolhemos:
Aplicando:
Simplificando:
Agora, voltamos à nossa equação anterior:
Simplificando:
Agora, somamos dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

Juntando tudo, a integral original é:
integral e^2x cos^2 x , dx = e^2x4 + e^2x (sin 2x + cos 2x)8 + C
Onde é a constante de integração.

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