Calcular as integrais :

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcularmos . A matéria que estamos lidando aqui envolve integrais de funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração, como a integração por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Essa identidade vai facilitar nossa integração.

Passo 3

Substituímos a expressão de na integral original:
Agora, temos que resolver duas integrais separadas.

Passo 4

Vamos resolver a primeira integral:
A integral de é , então:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral:
Para essa, usaremos a técnica de integração por partes. Vamos lembrar que:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Agora, temos uma nova integral . Vamos resolver essa também por partes, seguindo o mesmo processo:
Escolhemos:
Aplicando:
Simplificando:
Agora, voltamos à nossa equação anterior:
Simplificando:
Agora, somamos dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 2:

Resposta

Juntando tudo, a integral original é:
Onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Utilize coordenadas cilíndricas para calcular as seguintes integrais:
Calcular as integrais :
Derive as funções a seguir.
Calcular as integrais :