Calcular as integrais :
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa integral juntos! O enunciado pede para calcularmos
. A matéria que estamos lidando aqui envolve integrais de funções exponenciais e trigonométricas. Para resolver, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e técnicas de integração, como a integração por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar
usando uma identidade trigonométrica. Sabemos que:
Essa identidade vai facilitar nossa integração.
Passo 3
Substituímos a expressão de
na integral original:
Agora, temos que resolver duas integrais separadas.
Passo 4
Vamos resolver a primeira integral:
A integral de
é
, então:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda integral:
Para essa, usaremos a técnica de integração por partes. Vamos lembrar que:
Escolhemos:
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Agora, temos uma nova integral
. Vamos resolver essa também por partes, seguindo o mesmo processo:
Escolhemos:
Aplicando:
Simplificando:
Agora, voltamos à nossa equação anterior:
Simplificando:
Agora, somamos
dos dois lados:
Dividindo ambos os lados por 2:
Resposta
Juntando tudo, a integral original é:
Onde
é a constante de integração.
Exercícios relacionados
Utilize coordenadas cilíndricas para calcular as seguintes integrais:
Calcular as integrais :
Derive as funções a seguir.
Calcular as integrais :