Utilize coordenadas cilíndricas para calcular as seguintes integrais: integral-1^1 integral-raiz1-x^2^raiz1-x^2 integralx^2+y^2^2-y^2(x^2+y^2)^3 / 2 d z d y d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral tripla que queremos calcular usando coordenadas cilíndricas. As coordenadas cilíndricas são super úteis quando estamos lidando com simetria circular, porque elas simplificam a matemática. Para isso, vamos precisar transformar as coordenadas cartesianas (x, y, z) em coordenadas cilíndricas (r, theta, z), onde r é a distância até o eixo z, theta é o ângulo, e z continua sendo a altura. Vamos ver como fazer isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos converter a função e os limites de integração para coordenadas cilíndricas. A função que a gente quer integrar é (x^2 + y^2)^3/2. Em coordenadas cilíndricas, x^2 + y^2 é igual a r^2, então a função fica:
(x^2 + y^2)^3/2 = (r^2)^3/2 = r^3
Além disso, em coordenadas cilíndricas, o diferencial de volume dV é dado por r, dz, dr, dtheta.

Passo 3

Agora, vamos ajustar os limites de integração. Olhando para os limites atuais:
  • x vai de -1 a 1.
  • Para cada x, y vai de -raiz1 - x^2 a raiz1 - x^2.
  • Para cada (x, y), z vai de x^2 + y^2 a 2 - y^2.
Em coordenadas cilíndricas:
  • r varia de 0 a 1 (já que x^2 + y^2 <= 1).
  • theta varia de 0 a 2pi para cobrir todo o círculo.
  • z vai de r^2 a 2 - r^2sin^2theta, já que y = rsintheta.
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 integralr^2^2 - r^2sin^2theta r^3 cdot r, dz, dr, dtheta

Passo 4

Vamos simplificar a integral passo a passo. Primeiro, multiplicamos as potências de r:
r^3 cdot r = r^4
Então, a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 integralr^2^2 - r^2sin^2theta r^4, dz, dr, dtheta
Integrando em relação a z primeiro:
integralr^2^2 - r^2sin^2theta dz = [ z ]r^2^2 - r^2sin^2theta = 2 - r^2sin^2theta - r^2 = 2 - r^2(1 + sin^2theta)
Então, agora a integral fica:
integral0^2pi integral0^1 r^4 (2 - r^2(1 + sin^2theta)) dr, dtheta
Vamos distribuir r^4:
integral0^2pi integral0^1 (2r^4 - r^6(1 + sin^2theta)) dr, dtheta
Agora, separamos as integrais:
2 integral0^2pi integral0^1 r^4 dr, dtheta - integral0^2pi integral0^1 r^6(1 + sin^2theta) dr, dtheta
Integrando em relação a r:
Primeira parte:
2 integral0^2pi [ r^55 ]0^1 dtheta = 2 integral0^2pi 15 dtheta = 25 cdot 2pi = 4pi5
Segunda parte:
integral0^2pi [ r^77 (1 + sin^2theta) ]0^1 dtheta = integral0^2pi 17 (1 + sin^2theta) dtheta = 17 ( 2pi + integral0^2pi sin^2theta dtheta )
Sabemos que:
integral0^2pi sin^2theta dtheta = pi
Então:
17 (2pi + pi) = 3pi7
Agora, juntando tudo:
4pi5 - 3pi7 = 28pi - 15pi35 = 13pi35

Resposta

A integral vale dfrac13,pi35.

Exercícios relacionados