Utilize coordenadas cilíndricas para calcular as seguintes integrais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral tripla que queremos calcular usando coordenadas cilíndricas. As coordenadas cilíndricas são super úteis quando estamos lidando com simetria circular, porque elas simplificam a matemática. Para isso, vamos precisar transformar as coordenadas cartesianas em coordenadas cilíndricas , onde é a distância até o eixo , é o ângulo, e continua sendo a altura. Vamos ver como fazer isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos converter a função e os limites de integração para coordenadas cilíndricas. A função que a gente quer integrar é . Em coordenadas cilíndricas, é igual a , então a função fica:
Além disso, em coordenadas cilíndricas, o diferencial de volume é dado por .

Passo 3

Agora, vamos ajustar os limites de integração. Olhando para os limites atuais:
  • vai de a .
  • Para cada , vai de a .
  • Para cada , vai de a .
Em coordenadas cilíndricas:
  • varia de a (já que ).
  • varia de a para cobrir todo o círculo.
  • vai de a , já que .
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos simplificar a integral passo a passo. Primeiro, multiplicamos as potências de :
Então, a integral fica:
Integrando em relação a primeiro:
Então, agora a integral fica:
Vamos distribuir :
Agora, separamos as integrais:
Integrando em relação a :
Primeira parte:
Segunda parte:
Sabemos que:
Então:
Agora, juntando tudo:

Resposta

A integral vale .

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Derive as funções a seguir.