Utilize coordenadas cilíndricas para calcular as seguintes integrais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma integral tripla que queremos calcular usando coordenadas cilíndricas. As coordenadas cilíndricas são super úteis quando estamos lidando com simetria circular, porque elas simplificam a matemática. Para isso, vamos precisar transformar as coordenadas cartesianas
em coordenadas cilíndricas
, onde
é a distância até o eixo
,
é o ângulo, e
continua sendo a altura. Vamos ver como fazer isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos converter a função e os limites de integração para coordenadas cilíndricas. A função que a gente quer integrar é
. Em coordenadas cilíndricas,
é igual a
, então a função fica:
Além disso, em coordenadas cilíndricas, o diferencial de volume
é dado por
.
Passo 3
Agora, vamos ajustar os limites de integração. Olhando para os limites atuais:
-
vai de a . - Para cada
, vai de a . - Para cada
, vai de a .
Em coordenadas cilíndricas:
-
varia de a (já que ). -
varia de a para cobrir todo o círculo. -
vai de a , já que .
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos simplificar a integral passo a passo. Primeiro, multiplicamos as potências de
:
Então, a integral fica:
Integrando em relação a
primeiro:
Então, agora a integral fica:
Vamos distribuir
:
Agora, separamos as integrais:
Integrando em relação a
:
Primeira parte:
Segunda parte:
Sabemos que:
Então:
Agora, juntando tudo:
Resposta
A integral vale
.
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Derive as funções a seguir.