Calcular as integrais : integral cos x cos 5 x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está ligado ao conteúdo de Cálculo Integral, especificamente no uso de identidades trigonométricas para simplificar integrais que envolvem produtos de funções trigonométricas. Para resolver, vamos usar a fórmula do produto para soma que ajuda a transformar o produto de cossenos em uma soma, facilitando a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do produto para soma para cossenos:
cos A cos B = cos(A + B) + cos(A - B)2
Essa fórmula nos permite transformar o produto de dois cossenos em uma soma de cossenos, o que é mais fácil de integrar.

Passo 3

Aplicando a fórmula ao nosso caso, onde cos x cos 5x = cos(x + 5x) + cos(x - 5x)2 = cos 6x + cos(-4x)2 e cos 6x + cos 4x2 :
Como , simplificamos para:

Passo 4

Agora, a integral original fica:
integral cos x cos 5x , dx = integral cos 6x + cos 4x2 , dx = 12 integral cos 6x , dx + 12 integral cos 4x , dx
Separamos a integral em duas partes para facilitar.

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de integral cos 6x , dx = 16 sin 6x + C é integral cos 4x , dx = 14 sin 4x + C .
Para :
Para :

Passo 6

Substituindo de volta na expressão original:
12 ( 16 sin 6x ) + 12 ( 14 sin 4x ) + C = 112 sin 6x + 18 sin 4x + C

Resposta

integral cos x cos 5x , dx = 112 sin 6x + 18 sin 4x + C

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