Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição. integral(e^2 t+2)^1 / 3 e^2 t d t

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular a integral integral(e^2 t+2)^1 / 3 e^2 t d t usando o método da substituição. Para resolver isso, vamos identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável, facilitando a integração.

Passo 2

Vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando a expressão dentro da potência, temos e^2t + 2. Vamos definir:
u = e^2t + 2
Isso significa que a parte complicada da integral será substituída por u, tornando a expressão mais simples.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada de u em relação a t para substituir dt na integral. Calculando a derivada:
dudt = ddt (e^2t + 2) = 2e^2t
Então, isolamos dt:
dt = du2e^2t

Passo 4

Vamos substituir e^2t e dt na integral original usando nossa substituição u = e^2t + 2:
integral(e^2 t+2)^1 / 3 e^2 t d t = integral u^1/3 cdot e^2t cdot du2e^2t = integral u^1/32 du
Aqui, e^2t se cancelou, simplificando a integral.

Passo 5

Agora, a integral ficou mais simples:
integral u^1/32 du = 12 integral u^1/3 du
Vamos integrar u^1/3 em relação a u.

Passo 6

A integral de u^n em relação a u é dada por:
integral u^n du = u^n+1n+1 + C
Aplicando isso com n = 13:
12 cdot u^4/34/3 + C = 38 u^4/3 + C

Passo 7

Agora, substituímos u de volta para a expressão original em termos de t:
38 (e^2t + 2)^4/3 + C

Resposta

A integral integral(e^2 t+2)^1 / 3 e^2 t d t é igual a:
38 (e^2t + 2)^4/3 + C

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