Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.

Passo 1

Vamos lá! Temos a integral que precisa ser resolvida usando o método da substituição. Esse método é muito útil quando conseguimos simplificar a integral escolhendo uma parte dela para substituir por uma nova variável. Para isso, vamos identificar qual parte da função pode ser substituída para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o expoente da base 2, que é . Essa expressão parece um bom candidato para a substituição. Vamos definir:
Dessa forma, estamos escolhendo uma parte que, quando derivada, nos ajudará a simplificar a integral.

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a para encontrar :
Isso significa que:
Essa relação será útil para substituir na integral original.

Passo 4

Vamos reescrever a integral original em termos de e :
Podemos simplificar isso:

Passo 5

Observe que pode ser reescrito como :
Isso simplificou a integral para algo mais fácil de resolver.

Passo 6

A integral de em relação a é uma função exponencial básica. Sabemos que:
onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, vamos retornar à variável original substituindo de volta:

Resposta

A integral é igual a .

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Utilizando o comprimento diferencial , determine o Comprimento de cada uma das seguintes curvas:
(a) Constante