Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
Passo 1
Vamos lá! Temos a integral
que precisa ser resolvida usando o método da substituição. Esse método é muito útil quando conseguimos simplificar a integral escolhendo uma parte dela para substituir por uma nova variável. Para isso, vamos identificar qual parte da função pode ser substituída para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o expoente da base 2, que é
. Essa expressão parece um bom candidato para a substituição. Vamos definir:
Dessa forma, estamos escolhendo uma parte que, quando derivada, nos ajudará a simplificar a integral.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
para encontrar
:
Isso significa que:
Essa relação será útil para substituir na integral original.
Passo 4
Vamos reescrever a integral original em termos de
e
:
Podemos simplificar isso:
Passo 5
Observe que
pode ser reescrito como
:
Isso simplificou a integral para algo mais fácil de resolver.
Passo 6
A integral de
em relação a
é uma função exponencial básica. Sabemos que:
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, vamos retornar à variável original
substituindo
de volta:
Resposta
A integral
é igual a
.
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Utilizando o comprimento diferencial
, determine o Comprimento de cada uma das seguintes curvas:
(a) Constante
(a)