Calcule o volume do conjunto dado:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular o volume de um conjunto no espaço tridimensional. O problema envolve entender limitações para as variáveis
,
e
e usar integração múltipla para encontrar o volume. Vamos precisar configurar uma integral tripla para isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os limites de cada variável. Pelo enunciado, temos:
Isso significa que
e
variam entre 0 e 1, e para cada par
,
varia de 1 até
.
Passo 3
Para encontrar o volume, vamos configurar uma integral tripla. A fórmula geral para o volume
é:
No nosso caso, os limites são:
-
de 0 a 1 -
de 0 a 1 -
de 1 a
Então, a integral fica:
Passo 4
Vamos começar integrando em relação a
. A integral de
de 1 a
é simplesmente
. Então, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos integrar em relação a
. A integral de
em relação a
é
e a integral de
em relação a
é
. Avaliando de 0 a 1:
Então, a integral agora é:
Passo 6
Finalmente, vamos integrar em relação a
. A integral de
é
, a de
é
e a de
é
. Avaliando de 0 a 1:
Resposta
O volume do conjunto
é
.
Exercícios relacionados
Calcule
, sendo
e
Calcule a integral de superfície.
, onde
é a porção do cone
entre os planos
e
.
Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.