Calcule o volume do conjunto dado: A = {(x, y, z) em R^3 ; 0 <= x <= 1, 0 <= y <= 1, 1 <= z <= e^(x+y)}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo que pede para calcular o volume de um conjunto no espaço tridimensional. O problema envolve entender limitações para as variáveis , e e usar integração múltipla para encontrar o volume. Vamos precisar configurar uma integral tripla para isso.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de cada variável. Pelo enunciado, temos:
Isso significa que e variam entre 0 e 1, e para cada par , varia de 1 até .

Passo 3

Para encontrar o volume, vamos configurar uma integral tripla. A fórmula geral para o volume é:
No nosso caso, os limites são:
  • de 0 a 1
  • de 0 a 1
  • de 1 a
Então, a integral fica:

Passo 4

Vamos começar integrando em relação a . A integral de de 1 a é simplesmente . Então, a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos integrar em relação a . A integral de em relação a é e a integral de em relação a é . Avaliando de 0 a 1:
Então, a integral agora é:

Passo 6

Finalmente, vamos integrar em relação a . A integral de é , a de é e a de é . Avaliando de 0 a 1:

Resposta

O volume do conjunto é .

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