Calcule integral duplaA f(x, y) d x d y, sendo f(x, y)=x y^2 e A=(x, y) in R^2 ; 1 <= x <= 2,2 <= y <= 3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo de integrais duplas. A gente precisa calcular a integral dupla de sobre a região , que é o conjunto de pontos onde e . Isso pertence ao conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas. Vamos precisar entender como configurar os limites de integração e realizar as integrações passo a passo.

Passo 2

Como a região é um retângulo, podemos resolver a integral dupla como uma integral iterada, ou seja, integrar uma variável de cada vez. Primeiro, vamos integrar em relação a de 1 a 2, mantendo constante, e depois integrar o resultado em relação a de 2 a 3.

Passo 3

Vamos começar integrando integral1^2 x y^2 , dx = y^2 integral1^2 x , dx = y^2 [ 12 x^2 ]1^2 = y^2 ( 12(4) - 12(1) ) = y^2 ( 2 - 12 ) = y^2 cdot 32 = 32 y^2 em relação a , de 1 a 2:

Passo 4

Agora, vamos integrar o resultado integral2^3 32 y^2 , dy = 32 integral2^3 y^2 , dy = 32 [ 13 y^3 ]2^3 = 32 ( 273 - 83 ) = 32 cdot 193 = 192 = 9,5 em relação a , de 2 a 3:

Resposta

O valor da integral dupla é ou 9,5.

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