Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição. integral x^4 e^-x^3 d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral x^4 e^-x^3 , dx usando o método da substituição. Esse método é muito útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Vamos precisar identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma variável nova para simplificar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando integral x^4 e^-x^3 , dx, notamos que o expoente de e é -x^3. Vamos escolher:
u = -x^3

Passo 3

Agora, precisamos calcular a derivada de u em relação a x para encontrar du:
dudx = -3x^2 Rightarrow du = -3x^2 , dx

Passo 4

Vamos reorganizar a expressão para encontrar x^2 dx em termos de du:
x^2 dx = -13 du

Passo 5

Agora, vamos voltar à nossa integral original e expressá-la em termos de u e du. Note que temos x^4 na integral, que pode ser escrito como x^2 cdot x^2. Então:
integral x^4 e^-x^3 , dx = integral x^2 cdot x^2 e^u , dx
Substituindo x^2 dx por -13 du:
= integral x^2 e^u cdot (-13 du) = -13 integral x^2 e^u , du

Passo 6

Aqui, percebemos que ainda temos um x^2 na integral. No entanto, lembrando que u = -x^3, podemos resolver para x^2 em termos de u:
x^3 = -u Rightarrow x = (-u)^1/3
Mas isso torna a integral mais complicada. Portanto, percebemos que houve um equívoco na escolha de u. Em vez disso, vamos tentar uma substituição diferente.

Passo 7

Vamos tentar uma nova substituição:
u = x^3 Rightarrow du = 3x^2 dx Rightarrow x^2 dx = 13 du
Agora, reescrevemos a integral:
integral x^4 e^-x^3 , dx = integral x^2 cdot x^2 e^-u cdot 13 du = 13 integral x^2 e^-u , du
Mas ainda temos x^2 em termos de u, o que não resolve o problema. Portanto, precisamos encontrar uma maneira de expressar x^4 em termos de u e du.

Passo 8

Voltando à substituição original u = -x^3, podemos escrever x^3 = -u, então x = (-u)^1/3. Agora, substituindo na integral:
integral x^4 e^-x^3 , dx = integral ((-u)^1/3)^4 e^u cdot (-13 du)
Simplificando:
= -13 integral (-u)^4/3 e^u , du
No entanto, essa integral não possui uma solução elementar simples, e seria necessário recorrer a funções especiais para expressá-la.

Resposta

A integral integral x^4 e^-x^3 , dx não pode ser expressa em termos de funções elementares utilizando o método da substituição. Portanto, sua solução envolve funções especiais ou deve ser avaliada numericamente.

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