Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a integral
usando o método da substituição. Esse método é muito útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra. Vamos precisar identificar uma parte da integral que pode ser substituída por uma variável nova para simplificar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos escolher uma substituição que simplifique a integral. Observando
, notamos que o expoente de
é
. Vamos escolher:
Passo 3
Agora, precisamos calcular a derivada de
em relação a
para encontrar
:
Passo 4
Vamos reorganizar a expressão para encontrar
em termos de
:
Passo 5
Agora, vamos voltar à nossa integral original e expressá-la em termos de
e
. Note que temos
na integral, que pode ser escrito como
. Então:
Substituindo
por
:
Passo 6
Aqui, percebemos que ainda temos um
na integral. No entanto, lembrando que
, podemos resolver para
em termos de
:
Mas isso torna a integral mais complicada. Portanto, percebemos que houve um equívoco na escolha de
. Em vez disso, vamos tentar uma substituição diferente.
Passo 7
Vamos tentar uma nova substituição:
Agora, reescrevemos a integral:
Mas ainda temos
em termos de
, o que não resolve o problema. Portanto, precisamos encontrar uma maneira de expressar
em termos de
e
.
Passo 8
Voltando à substituição original
, podemos escrever
, então
. Agora, substituindo na integral:
Simplificando:
No entanto, essa integral não possui uma solução elementar simples, e seria necessário recorrer a funções especiais para expressá-la.
Resposta
A integral
não pode ser expressa em termos de funções elementares utilizando o método da substituição. Portanto, sua solução envolve funções especiais ou deve ser avaliada numericamente.
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, determine o Comprimento de cada uma das seguintes curvas:
(a) Constante
(a)
Utilize o volume diferencial
para determinar os volumes das seguintes regiões:
(b)
(b)