Utilizando o comprimento diferencial
, determine o Comprimento de cada uma das seguintes curvas:
(a)
Constante
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o comprimento de uma curva usando o comprimento diferencial
. Estamos lidando com coordenadas cilíndricas aqui, e vamos precisar entender como funciona o cálculo do comprimento em coordenadas
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são essas coordenadas cilíndricas:
-
é a distância do ponto até o eixo . -
é o ângulo em torno do eixo . -
é a altura do ponto em relação ao plano .
No nosso caso,
é constante, então a curva está num plano horizontal, e
varia de
a
.
Passo 3
A fórmula para o comprimento diferencial em coordenadas cilíndricas é:
Como
é constante,
.
Passo 4
Na nossa situação,
também é constante (vamos chamar de
) porque não há variação mencionada. Então,
. Assim, a f��rmula simplifica para:
Passo 5
Para encontrar o comprimento total da curva, integramos
de
até
:
Passo 6
Realizando a integração:
Resposta
O comprimento da curva é
.
Exercícios relacionados
Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
Utilize o volume diferencial
para determinar os volumes das seguintes regiões:
(b)
(b)
Dado que
, calcule
, Considere
ao longo da curva
, de
a
.