Utilizando o comprimento diferencial d l, determine o Comprimento de cada uma das seguintes curvas:
(a) rho, pi/4 < phi < pi/2, z = Constante

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o comprimento de uma curva usando o comprimento diferencial d l. Estamos lidando com coordenadas cilíndricas aqui, e vamos precisar entender como funciona o cálculo do comprimento em coordenadas rho, phi e z.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são essas coordenadas cilíndricas:
  • rho é a distância do ponto até o eixo z.
  • phi é o ângulo em torno do eixo z.
  • z é a altura do ponto em relação ao plano xy.
No nosso caso, z é constante, então a curva está num plano horizontal, e phi varia de a .

Passo 3

A fórmula para o comprimento diferencial em coordenadas cilíndricas é:
Como z é constante, .

Passo 4

Na nossa situação, rho também é constante (vamos chamar de ) porque não há variação mencionada. Então, . Assim, a f��rmula simplifica para:

Passo 5

Para encontrar o comprimento total da curva, integramos d l de até :

Passo 6

Realizando a integração:

Resposta

O comprimento da curva é .

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