Utilizando o comprimento diferencial , determine o Comprimento de cada uma das seguintes curvas:
(a) Constante

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente encontrar o comprimento de uma curva usando o comprimento diferencial . Estamos lidando com coordenadas cilíndricas aqui, e vamos precisar entender como funciona o cálculo do comprimento em coordenadas , e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são essas coordenadas cilíndricas:
  • é a distância do ponto até o eixo .
  • é o ângulo em torno do eixo .
  • é a altura do ponto em relação ao plano .
No nosso caso, é constante, então a curva está num plano horizontal, e varia de a .

Passo 3

A fórmula para o comprimento diferencial em coordenadas cilíndricas é:
Como é constante, .

Passo 4

Na nossa situação, também é constante (vamos chamar de ) porque não há variação mencionada. Então, . Assim, a f��rmula simplifica para:

Passo 5

Para encontrar o comprimento total da curva, integramos de até :

Passo 6

Realizando a integração:

Resposta

O comprimento da curva é .

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Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
Utilize o volume diferencial para determinar os volumes das seguintes regiões:
(b)
Dado que , calcule , Considere ao longo da curva , de a .