Utilize o volume diferencial para determinar os volumes das seguintes regiões:
(b)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o volume de uma região específica usando o volume diferencial . Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas para facilitar, já que temos limites para (a distância radial), (o ângulo polar) e (a altura). Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula do volume diferencial em coordenadas cilíndricas. Ela é dada por:
Aqui, é a distância do ponto ao eixo z, é o ângulo em torno do eixo z, e é a coordenada vertical.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração para cada variável:
  • varia de 2 a 5.
  • varia de a .
  • varia de -1 a 4.
Isso significa que vamos integrar de 2 a 5, de a , e de -1 a 4.

Passo 4

Vamos montar a integral tripla para calcular o volume:
Vamos começar resolvendo a integral com respeito a .

Passo 5

Integrando em relação a :
Então, nossa integral simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos integrar com respeito a :
Substituindo na integral, temos:

Passo 7

Por fim, vamos integrar com respeito a :
Substituindo de volta na expressão do volume:

Resposta

O volume da região é unidades cúbicas.

Exercícios relacionados

Utilizando o comprimento diferencial , determine o Comprimento de cada uma das seguintes curvas:
(a) Constante
Calcular as integrais seguintes usando o método da substituição.
Dado que , calcule , Considere ao longo da curva , de a .
encontre o gradiente dos seguintes campos escalares:
(b)