Utilize o volume diferencial d v para determinar os volumes das seguintes regiões:
(b) 2 < rho < 5, pi / 3 < phi < pi, -1 < z < 4

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o volume de uma região específica usando o volume diferencial d v. Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas para facilitar, já que temos limites para rho (a distância radial), phi (o ângulo polar) e z (a altura). Vamos nessa!

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula do volume diferencial em coordenadas cilíndricas. Ela é dada por:
Aqui, rho é a distância do ponto ao eixo z, phi é o ângulo em torno do eixo z, e z é a coordenada vertical.

Passo 3

Agora, vamos identificar os limites de integração para cada variável:
  • rho varia de 2 a 5.
  • phi varia de a pi.
  • z varia de -1 a 4.
Isso significa que vamos integrar rho de 2 a 5, phi de a pi, e z de -1 a 4.

Passo 4

Vamos montar a integral tripla para calcular o volume:
Vamos começar resolvendo a integral com respeito a z.

Passo 5

Integrando em relação a z:
Então, nossa integral simplifica para:

Passo 6

Agora, vamos integrar com respeito a phi:
Substituindo na integral, temos:

Passo 7

Por fim, vamos integrar com respeito a rho:
Substituindo de volta na expressão do volume:

Resposta

O volume da região é unidades cúbicas.

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