Utilize o volume diferencial para determinar os volumes das seguintes regiões:
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o volume de uma região específica usando o volume diferencial . Vamos precisar usar coordenadas cilíndricas para facilitar, já que temos limites para (a distância radial), (o ângulo polar) e (a altura). Vamos nessa!
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como é a fórmula do volume diferencial em coordenadas cilíndricas. Ela é dada por:
Aqui, é a distância do ponto ao eixo z, é o ângulo em torno do eixo z, e é a coordenada vertical.
Passo 3
Agora, vamos identificar os limites de integração para cada variável:
varia de 2 a 5.
varia de a .
varia de -1 a 4.
Isso significa que vamos integrar de 2 a 5, de a , e de -1 a 4.
Passo 4
Vamos montar a integral tripla para calcular o volume:
Vamos começar resolvendo a integral com respeito a .