Calcular a integral do campo vetorial
ao longo dos seguintes caminhos fechados, no sentido anti-horário:
a) circunferência de centro na origem e raio 2;
b) elipse
;
c) triângulo de vértices
e
.
a) circunferência de centro na origem e raio 2;
b) elipse
c) triângulo de vértices
Passo 1
Vamos calcular a integral do campo vetorial
ao longo de caminhos fechados. O conteúdo que vamos utilizar aqui é o cálculo de integrais de linhas em campos vetoriais, mais especificamente usando o Teorema de Green. Precisamos saber calcular a área das figuras envolvidas e entender como aplicar o teorema para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a área.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área limitada por essa curva. A fórmula é:
Onde
. No nosso caso,
, então
e
.
Passo 3
Vamos calcular o termo dentro da integral dupla:
Então, a integral se simplifica para:
Passo 4
Agora, vamos calcular a área para cada caminho:
a) Circunferência de centro na origem e raio 2
A área de uma circunferência é dada por:
Então, a integral é:
b) Elipse
Primeiro, vamos reescrever a equação da elipse na forma padrão:
Aqui,
e
. A área de uma elipse é:
Então, a integral é:
c) Triângulo de vértices
,
e
Para calcular a área de um triângulo com vértices dados, podemos usar a fórmula:
Aplicando os pontos:
Então, a integral é:
Resposta
a)
b)
c)
Exercícios relacionados
Use o Lema Fundamental e mostre que a função
é diferenciável no domínio indicado.
©
©
Determinar o fluxo do campo vetorial
, através da superfície esférica
interior ao cone
com normal exterior.