Calcular a integral do campo vetorial ao longo dos seguintes caminhos fechados, no sentido anti-horário:
a) circunferência de centro na origem e raio 2;
b) elipse ;
c) triângulo de vértices e .

Passo 1

Vamos calcular a integral do campo vetorial ao longo de caminhos fechados. O conteúdo que vamos utilizar aqui é o cálculo de integrais de linhas em campos vetoriais, mais especificamente usando o Teorema de Green. Precisamos saber calcular a área das figuras envolvidas e entender como aplicar o teorema para transformar a integral de linha em uma integral dupla sobre a área.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar do Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de uma curva fechada com uma integral dupla sobre a área limitada por essa curva. A fórmula é:
Onde . No nosso caso, , então e .

Passo 3

Vamos calcular o termo dentro da integral dupla:
Então, a integral se simplifica para:
Á

Passo 4

Agora, vamos calcular a área para cada caminho:

a) Circunferência de centro na origem e raio 2

A área de uma circunferência é dada por:
Á
Então, a integral é:

b) Elipse

Primeiro, vamos reescrever a equação da elipse na forma padrão:
Aqui, e . A área de uma elipse é:
Á
Então, a integral é:

c) Triângulo de vértices , e

Para calcular a área de um triângulo com vértices dados, podemos usar a fórmula:
Á
Aplicando os pontos:
Á
Então, a integral é:

Resposta

a)
b)
c)

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