ointc[(y+2 z) d x+(2 z+x) d y+(x+y) d z], onde C é a intersecção das superfícies x^2+y^2+z^2=a^2 e x=a2. Considerar os dois sentidos de percurso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha ointC[(y+2 z) dx + (2 z+x) dy + (x+y) dz], onde C é a interseção das superfícies x^2+y^2+z^2=a^2 e x=a2. Vamos precisar usar o cálculo de integrais de linha e, possivelmente, o Teorema de Stokes para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva C. Ela é a interseção da esfera x^2+y^2+z^2=a^2 com o plano x=a2. Isso significa que C é um círculo com raio determinado pela interseção dessas duas superfícies.

Passo 3

Vamos encontrar o raio do círculo C. Substituindo x=a2 na equação da esfera:
(a2)^2 + y^2 + z^2 = a^2 a^24 + y^2 + z^2 = a^2 y^2 + z^2 = a^2 - a^24 y^2 + z^2 = 3a^24
Então, o raio r do círculo C é raiz3a^24 = raiz3a2.

Passo 4

Agora, para calcular a integral de linha, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha sobre C com a integral de superfície do rotacional do campo vetorial sobre uma superfície S limitada por C:
ointC F cdot dr = integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS
Onde F = (y+2z, 2z+x, x+y).

Passo 5

Vamos calcular o rotacional de F, nabla times F:
nabla times F = i & j & k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z y+2z & 2z+x & x+y
Calculando os determinantes:
= i ( partial (x+y)partial y - partial (2z+x)partial z ) - j ( partial (x+y)partial x - partial (y+2z)partial z ) + k ( partial (2z+x)partial x - partial (y+2z)partial y )
Simplificando:
= i (1 - 2) - j (1 - 2) + k (1 - 1) = -i + j + 0k = (-1, 1, 0)

Passo 6

Agora, precisamos escolher uma superfície S cujas bordas sejam a curva C. Uma boa escolha é o ciclo circular C no plano x=a2. A normal a essa superfície será na direção do eixo x, ou seja, n = (1, 0, 0).

Passo 7

Vamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot n:
(nabla times F) cdot n = (-1, 1, 0) cdot (1, 0, 0) = (-1)(1) + (1)(0) + (0)(0) = -1

Passo 8

Agora, a integral de superfície fica:
integral duplaS (nabla times F) cdot n , dS = integral duplaS (-1) , dS = - integral duplaS dS
A área da superfície S é a área do círculo C, que é:
A = pi r^2 = pi ( raiz3a2 )^2 = pi ( 3a^24 ) = 3pi a^24

Passo 9

Portanto, a integral de superfície é:
- integral duplaS dS = -A = -3pi a^24

Passo 10

Finalmente, pela aplicação do Teorema de Stokes, a integral de linha é igual à integral de superfície que calculamos:
ointC[(y+2 z) dx + (2 z+x) dy + (x+y) dz] = -3pi a^24

Resposta

A integral de linha é igual a -dfrac3pi a^24.

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