, onde é a intersecção das superfícies . Considerar os dois sentidos de percurso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde é a interseção das superfícies e . Vamos precisar usar o cálculo de integrais de linha e, possivelmente, o Teorema de Stokes para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva . Ela é a interseção da esfera com o plano . Isso significa que é um círculo com raio determinado pela interseção dessas duas superfícies.
Passo 3
Vamos encontrar o raio do círculo . Substituindo na equação da esfera:
Então, o raio do círculo é .
Passo 4
Agora, para calcular a integral de linha, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha sobre com a integral de superfície do rotacional do campo vetorial sobre uma superfície limitada por :
Onde .
Passo 5
Vamos calcular o rotacional de , :
Calculando os determinantes:
= i ( partial (x+y)partial y - partial (2z+x)partial z ) - j ( partial (x+y)partial x - partial (y+2z)partial z ) + k ( partial (2z+x)partial x - partial (y+2z)partial y )
Agora, precisamos escolher uma superfície S cujas bordas sejam a curva C. Uma boa escolha é o ciclo circular C no plano x=a2. A normal a essa superfície será na direção do eixo x, ou seja, n = (1, 0, 0).
Passo 7
Vamos calcular o produto escalar (nabla times F) cdot n: