, onde é a intersecção das superfícies . Considerar os dois sentidos de percurso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde é a interseção das superfícies e . Vamos precisar usar o cálculo de integrais de linha e, possivelmente, o Teorema de Stokes para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva . Ela é a interseção da esfera com o plano . Isso significa que é um círculo com raio determinado pela interseção dessas duas superfícies.
Passo 3
Vamos encontrar o raio do círculo . Substituindo na equação da esfera:
Então, o raio do círculo é .
Passo 4
Agora, para calcular a integral de linha, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha sobre com a integral de superfície do rotacional do campo vetorial sobre uma superfície limitada por :
Onde .
Passo 5
Vamos calcular o rotacional de , :
Calculando os determinantes:
Simplificando:
Passo 6
Agora, precisamos escolher uma superfície cujas bordas sejam a curva . Uma boa escolha é o ciclo circular no plano . A normal a essa superfície será na direção do eixo , ou seja, .
Passo 7
Vamos calcular o produto escalar :
Passo 8
Agora, a integral de superfície fica:
A área da superfície é a área do círculo , que é:
Passo 9
Portanto, a integral de superfície é:
Passo 10
Finalmente, pela aplicação do Teorema de Stokes, a integral de linha é igual à integral de superfície que calculamos: