, onde é a intersecção das superfícies . Considerar os dois sentidos de percurso.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a integral de linha , onde é a interseção das superfícies e . Vamos precisar usar o cálculo de integrais de linha e, possivelmente, o Teorema de Stokes para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva . Ela é a interseção da esfera com o plano . Isso significa que é um círculo com raio determinado pela interseção dessas duas superfícies.

Passo 3

Vamos encontrar o raio do círculo . Substituindo na equação da esfera:
Então, o raio do círculo é .

Passo 4

Agora, para calcular a integral de linha, vamos usar o Teorema de Stokes, que relaciona a integral de linha sobre com a integral de superfície do rotacional do campo vetorial sobre uma superfície limitada por :
Onde .

Passo 5

Vamos calcular o rotacional de , :
Calculando os determinantes:
Simplificando:

Passo 6

Agora, precisamos escolher uma superfície cujas bordas sejam a curva . Uma boa escolha é o ciclo circular no plano . A normal a essa superfície será na direção do eixo , ou seja, .

Passo 7

Vamos calcular o produto escalar :

Passo 8

Agora, a integral de superfície fica:
A área da superfície é a área do círculo , que é:

Passo 9

Portanto, a integral de superfície é:

Passo 10

Finalmente, pela aplicação do Teorema de Stokes, a integral de linha é igual à integral de superfície que calculamos:

Resposta

A integral de linha é igual a .

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Use o Lema Fundamental e mostre que a função é diferenciável no domínio indicado.
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Calcular , ao longo dos seguintes caminhos:
a) circunferência de centro e raio 1 no sentido anti-horário;
b) ;
c) poligonal onde e ;
d) circunferência de centro na origem e raio 1, no sentido anti-horário.
Calcular a integral do campo vetorial ao longo dos seguintes caminhos fechados, no sentido anti-horário:
a) circunferência de centro na origem e raio 2;
b) elipse ;
c) triângulo de vértices e .
onde é o contorno formado pelas retas e a parábola no sentido anti-horário.