onde é o contorno formado pelas retas e a parábola no sentido anti-horário.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha ao longo de um contorno . Esse contorno é formado pelas retas , e a parábola , tudo no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla, facilitando os cálculos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que:
Onde é a região delimitada pelo contorno , e e são as funções que estão na integral de linha. No nosso caso, e .
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
Substituindo no Teorema de Green:
Passo 4
Agora, precisamos descrever a região que é limitada pelas retas , e a parábola . Para integrar, vamos estabelecer os limites de integração. varia de 0 a 1, e para cada , varia de a 0.
Passo 5
Vamos ajustar os limites de integração corretamente. Na verdade, varia de 0 até para cada entre 0 e 1. Assim, a integral fica: