oint(raizy d x+raizx d y) onde C é o contorno formado pelas retas y=0, x=1 e a parábola y=x^2 no sentido anti-horário.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que calcular a integral de linha ao longo de um contorno . Esse contorno é formado pelas retas , e a parábola , tudo no sentido anti-horário. Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, que nos ajuda a transformar essa integral de linha em uma integral dupla, facilitando os cálculos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teorema de Green. Ele diz que:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) , dA
Onde é a região delimitada pelo contorno , e e são as funções que estão na integral de linha. No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais necessárias:
partial Qpartial x = ddx raizx = 12 x^-1/2
partial Ppartial y = ddy raizy = 12 y^-1/2
Substituindo no Teorema de Green:
integral duplaD ( 12 x^-1/2 - 12 y^-1/2 ) , dA

Passo 4

Agora, precisamos descrever a região que é limitada pelas retas , e a parábola . Para integrar, vamos estabelecer os limites de integração. varia de 0 a 1, e para cada , varia de a 0.

Passo 5

Vamos ajustar os limites de integração corretamente. Na verdade, integralx=0^1 integraly=0^x^2 ( 12 x^-1/2 - 12 y^-1/2 ) , dy , dx varia de 0 até para cada entre 0 e 1. Assim, a integral fica:

Passo 6

Vamos separar a integral em duas partes:
12 integral0^1 x^-1/2 ( integral0^x^2 dy ) dx - 12 integral0^1 ( integral0^x^2 y^-1/2 , dy ) dx
Calculando as integrais internas:
integral0^x^2 dy = x^2
integral0^x^2 y^-1/2 , dy = 2 y^1/2 |0^x^2 = 2x

Passo 7

Substituindo de volta:
12 integral0^1 x^-1/2 cdot x^2 , dx - 12 integral0^1 2x , dx
Simplificando:
12 integral0^1 x^3/2 , dx - integral0^1 x , dx

Passo 8

Calculando as integrais:
12 cdot ( 25 x^5/2 |0^1 ) - ( 12 x^2 |0^1 ) = 12 cdot 25 - 12 = 15 - 12

Passo 9

Fazendo a conta final:
15 - 12 = -310

Resposta

A integral vale .

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