Use o Lema Fundamental e mostre que a função z = f(x, y) é diferenciável no domínio indicado.
© z = xy / (x^2 + y^2) ; D = R^2 \ (0,0)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função é diferenciável no domínio . Para isso, vamos usar o Lema Fundamental da Diferenciabilidade, que nos ajuda a verificar se uma função é diferenciável verificando a existência e continuidade das suas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
Derivada parcial em relação a :
Usando a regra do quociente:
Derivada parcial em relação a :
Também aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essas derivadas parciais são contínuas no domínio . Observando as expressões das derivadas, vemos que elas são combinações de polinômios sobre . Como nunca é zero em , as derivadas são contínuas em todo o domínio .

Passo 4

Segundo o Lema Fundamental da Diferenciabilidade, se uma função tem todas as derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um ponto, então ela é diferenciável nesse ponto. Como mostramos que as derivadas parciais de são contínuas em todo , concluímos que é diferenciável em todo o domínio .

Resposta

A função é diferenciável no domínio .

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