Use o Lema Fundamental e mostre que a função
é diferenciável no domínio indicado.
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
é diferenciável no domínio
. Para isso, vamos usar o Lema Fundamental da Diferenciabilidade, que nos ajuda a verificar se uma função é diferenciável verificando a existência e continuidade das suas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Derivada parcial em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Derivada parcial em relação a
:
Também aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essas derivadas parciais são contínuas no domínio
. Observando as expressões das derivadas, vemos que elas são combinações de polinômios sobre
. Como
nunca é zero em
, as derivadas são contínuas em todo o domínio
.
Passo 4
Segundo o Lema Fundamental da Diferenciabilidade, se uma função tem todas as derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um ponto, então ela é diferenciável nesse ponto. Como mostramos que as derivadas parciais de
são contínuas em todo
, concluímos que
é diferenciável em todo o domínio
.
Resposta
A função
é diferenciável no domínio
.
Exercícios relacionados
Calcular
, ao longo dos seguintes caminhos:
a) circunferência de centro e raio 1 no sentido anti-horário;
b) ;
c) poligonal onde
e
;
d) circunferência de centro na origem e raio 1, no sentido anti-horário.
a) circunferência de centro
b)
c) poligonal
d) circunferência de centro na origem e raio 1, no sentido anti-horário.
Use o Lema Fundamental e mostre que a função
é diferenciável no domínio indicado.
(d)
(d)
Calcular a integral do campo vetorial
ao longo dos seguintes caminhos fechados, no sentido anti-horário:
a) circunferência de centro na origem e raio 2;
b) elipse ;
c) triângulo de vértices e
.
a) circunferência de centro na origem e raio 2;
b) elipse
c) triângulo de vértices