Use o Lema Fundamental e mostre que a função é diferenciável no domínio indicado.
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Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função é diferenciável no domínio . Para isso, vamos usar o Lema Fundamental da Diferenciabilidade, que nos ajuda a verificar se uma função é diferenciável verificando a existência e continuidade das suas derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e .
Derivada parcial em relação a :
Usando a regra do quociente:
Derivada parcial em relação a :
Também aplicando a regra do quociente:

Passo 3

Agora, precisamos verificar se essas derivadas parciais são contínuas no domínio . Observando as expressões das derivadas, vemos que elas são combinações de polinômios sobre . Como nunca é zero em , as derivadas são contínuas em todo o domínio .

Passo 4

Segundo o Lema Fundamental da Diferenciabilidade, se uma função tem todas as derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um ponto, então ela é diferenciável nesse ponto. Como mostramos que as derivadas parciais de são contínuas em todo , concluímos que é diferenciável em todo o domínio .

Resposta

A função é diferenciável no domínio .

Exercícios relacionados

Calcular , ao longo dos seguintes caminhos:
a) circunferência de centro e raio 1 no sentido anti-horário;
b) ;
c) poligonal onde e ;
d) circunferência de centro na origem e raio 1, no sentido anti-horário.
Use o Lema Fundamental e mostre que a função é diferenciável no domínio indicado.
(d)
, onde é a intersecção das superfícies . Considerar os dois sentidos de percurso.
Calcular a integral do campo vetorial ao longo dos seguintes caminhos fechados, no sentido anti-horário:
a) circunferência de centro na origem e raio 2;
b) elipse ;
c) triângulo de vértices e .