Use o Lema Fundamental e mostre que a função
é diferenciável no domínio indicado.
©
©
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a função
é diferenciável no domínio
. Para isso, vamos usar o Lema Fundamental da Diferenciabilidade, que nos ajuda a verificar se uma função é diferenciável verificando a existência e continuidade das suas derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
.
Derivada parcial em relação a
:
Usando a regra do quociente:
Derivada parcial em relação a
:
Também aplicando a regra do quociente:
Passo 3
Agora, precisamos verificar se essas derivadas parciais são contínuas no domínio
. Observando as expressões das derivadas, vemos que elas são combinações de polinômios sobre
. Como
nunca é zero em
, as derivadas são contínuas em todo o domínio
.
Passo 4
Segundo o Lema Fundamental da Diferenciabilidade, se uma função tem todas as derivadas parciais de primeira ordem contínuas em um ponto, então ela é diferenciável nesse ponto. Como mostramos que as derivadas parciais de
são contínuas em todo
, concluímos que
é diferenciável em todo o domínio
.
Resposta
A função
é diferenciável no domínio
.