Calcular a integral
, onde
é o domínio limitado pelas retas
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla
, onde
é a região delimitada pelas retas
,
e
. Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e a definição dos limites de integração para regiões delimitadas por retas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a região
. As retas que delimitam
são:
-
: o eixo y. -
: uma linha horizontal no ponto . -
: uma linha diagonal que passa pela origem com inclinação 45°.
Vamos esboçar essas retas para visualizar a região:
- A reta
é o eixo y. - A reta
corta o eixo y no ponto . - A reta
corta o eixo y na origem e passa por .
Assim, a região
é um triângulo com vértices em
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos definir os limites de integração para
e
. Podemos integrar primeiro em relação a
e depois em relação a
, ou vice-versa. Vamos optar por integrar
primeiro e
depois.
- Para cada valor de
entre e , varia de até (pois ).
Portanto, os limites de integração são:
Passo 4
Agora, vamos escrever a integral dupla com esses limites:
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a
.
Passo 5
Integrando
em relação a
:
Aqui, tratamos
como uma constante. A antiderivada de
é
, onde
. Portanto:
Agora, aplicamos os limites de
de
a
:
Passo 6
Agora, substituímos essa expressão na integral em relação a
:
Vamos separar essa integral em duas partes:
Passo 7
Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
A antiderivada de
é
, então:
Aplicando os limites de
a
:
Segunda integral:
Aplicando os limites de
a
:
Resposta
Somando os resultados das integrais:
Portanto, o valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Complete o raciocínio e calcule-os. Analise as respostas dos itens (g) e (h). Você acha que para
negativo ou fracionário vale a mesma regra que você encontrou no item (f)? Generalize, sem fazer contas, para o caso das funções da forma
, com
.
Encontre as equações da reta tangente e da reta normal à parábola
no ponto
.
Calcule os limites da forma:
Calcule os limites da forma: