Calcular a integral integral duplaD cos (x+y) d x d y, onde D é o domínio limitado pelas retas x=0, y=pi, y=x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla , onde é a região delimitada pelas retas , e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e a definição dos limites de integração para regiões delimitadas por retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . As retas que delimitam são:
  • : o eixo y.
  • : uma linha horizontal no ponto .
  • : uma linha diagonal que passa pela origem com inclinação 45°.
Vamos esboçar essas retas para visualizar a região:
  • A reta é o eixo y.
  • A reta corta o eixo y no ponto .
  • A reta corta o eixo y na origem e passa por .
Assim, a região é um triângulo com vértices em , e .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração para 0 <= y <= pi e 0 <= x <= y . Podemos integrar primeiro em relação a e depois em relação a , ou vice-versa. Vamos optar por integrar primeiro e depois.
  • Para cada valor de entre e , varia de até (pois ).
Portanto, os limites de integração são:

Passo 4

Agora, vamos escrever a integral dupla com esses limites:
integral duplaD cos(x + y) , dx , dy = integral0^pi integral0^y cos(x + y) , dx , dy
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a .

Passo 5

Integrando integral cos(x + y) , dx em relação a integral cos(x + y) , dx = sin(x + y) + C :
sin(y + y) - sin(0 + y) = sin(2y) - sin(y)
Aqui, tratamos como uma constante. A antiderivada de é , onde . Portanto:
Agora, aplicamos os limites de de a :

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na integral em relação a integral0^pi [sin(2y) - sin(y)] , dy :
integral0^pi sin(2y) , dy - integral0^pi sin(y) , dy
Vamos separar essa integral em duas partes:

Passo 7

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
integral sin(2y) , dy
A antiderivada de -12 cos(2y) + C é -12 [cos(2pi) - cos(0)] = -12 [1 - 1] = 0 , então:
integral sin(y) , dy = -cos(y) + C
Aplicando os limites de - [cos(pi) - cos(0)] = - [(-1) - 1] = - (-2) = 2 a :
Segunda integral:
Aplicando os limites de a :

Resposta

Somando os resultados das integrais:
0 - 2 = -2
Portanto, o valor da integral dupla é .

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