Calcular a integral , onde é o domínio limitado pelas retas .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a integral dupla , onde é a região delimitada pelas retas , e . Vamos usar conceitos de cálculo integral, especificamente integrais duplas e a definição dos limites de integração para regiões delimitadas por retas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a região . As retas que delimitam são:
  • : o eixo y.
  • : uma linha horizontal no ponto .
  • : uma linha diagonal que passa pela origem com inclinação 45°.
Vamos esboçar essas retas para visualizar a região:
  • A reta é o eixo y.
  • A reta corta o eixo y no ponto .
  • A reta corta o eixo y na origem e passa por .
Assim, a região é um triângulo com vértices em , e .

Passo 3

Agora, vamos definir os limites de integração para e . Podemos integrar primeiro em relação a e depois em relação a , ou vice-versa. Vamos optar por integrar primeiro e depois.
  • Para cada valor de entre e , varia de até (pois ).
Portanto, os limites de integração são:

Passo 4

Agora, vamos escrever a integral dupla com esses limites:
Vamos resolver essa integral passo a passo. Primeiro, integramos em relação a .

Passo 5

Integrando em relação a :
Aqui, tratamos como uma constante. A antiderivada de é , onde . Portanto:
Agora, aplicamos os limites de de a :

Passo 6

Agora, substituímos essa expressão na integral em relação a :
Vamos separar essa integral em duas partes:

Passo 7

Vamos calcular cada integral separadamente.
Primeira integral:
A antiderivada de é , então:
Aplicando os limites de a :
Segunda integral:
Aplicando os limites de a :

Resposta

Somando os resultados das integrais:
Portanto, o valor da integral dupla é .

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Complete o raciocínio e calcule-os. Analise as respostas dos itens (g) e (h). Você acha que para negativo ou fracionário vale a mesma regra que você encontrou no item (f)? Generalize, sem fazer contas, para o caso das funções da forma , com .
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Calcule os limites da forma:
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