Calcule os limites da forma: 0^0, 1^infty, infty^0 lim x 0(e^x+x)^1x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse problema envolve limites que resultam em formas indeterminadas como , e . Para resolver, vamos usar logaritmos e propriedades de limites exponenciais. Vamos precisar conhecer as regras de limites e como aplicar logaritmos em funções.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual a forma do limite que estamos lidando. Para :
  • (usando a série de Taylor)
  • Portanto,
Assim, o limite se aproxima de , que tem a forma , uma forma indeterminada.

Passo 3

Para resolver limites que resultam em L = limx 0(e^x+x)^1x , uma técnica comum é aplicar o logaritmo natural. Vamos chamar o limite de ln L = limx 0 ln(e^x + x)x :
Aplicando o logaritmo natural dos dois lados:

Passo 4

Agora, precisamos calcular e^x + x = 1 + x + x^22 + cdots + x = 1 + 2x + x^22 + cdots . Vamos simplificar o numerador:
Sabemos que , então:
Para próximo de 0, podemos aproximar .

Passo 5

Substituindo na expressão do logaritmo:
ln(1 + 2x) approx 2x (pois ln(1 + y) approx y para y pequeno)
Então:
ln L = limx 0 2xx = 2

Passo 6

Agora que temos L = e^2 , basta resolver para :

Resposta

O limite é igual a .

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