Calcule os limites da forma: 00 e inftyinfty lim x 0 ln xln (1-cos x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite . Isso envolve o conteúdo de limites, especificamente limites que resultam em formas indeterminadas como ou . Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades dos logaritmos e a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando se aproxima de 0.
  • Para o numerador : À medida que se aproxima de 0 pelo lado positivo, tende a .
  • Para o denominador : Sabemos que , então tende a 0, e também tende a .
Portanto, temos uma forma indeterminada do tipo , que é semelhante à e onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicada.

Passo 3

A regra de L’Hôpital nos diz que se limx a f(x)g(x) = limx a f'(x)g'(x) resulta em uma forma indeterminada ou , então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente:

Passo 4

Vamos aplicar a regra de L’Hôpital ao nosso limite:
limx 0 ln xln (1 - cos x) = limx 0 ddx (ln x)ddx (ln (1 - cos x))
Calculando as derivadas:
  • Derivada do numerador ddx (ln x) = 1x :
ddx (ln(1 - cos x)) = 11 - cos x cdot sin x
  • Derivada do denominador ddx (ln(1 - cos x)) = sin x1 - cos x :
Primeiro, aplicamos a regra da cadeia:
Então:

Passo 5

Substituindo as derivadas no limite:
limx 0 1xsin x1 - cos x = limx 0 1x cdot 1 - cos xsin x
Simplificando a expressão:
limx 0 1 - cos xx sin x

Passo 6

Agora, vamos simplificar cos x approx 1 - x^22 . Sabemos que para valores pequenos de 1 - cos x approx x^22 , podemos usar a expansão de Taylor para :
Portanto:
E para próximo de 0.

Passo 7

Substituindo essas aproximações na expressão:
limx 0 x^22x cdot x = limx 0 x^22x^2 = limx 0 12 = 12

Resposta

O limite é igual a .

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