Calcule os limites da forma:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite
. Isso envolve o conteúdo de limites, especificamente limites que resultam em formas indeterminadas como
ou
. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades dos logaritmos e a regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando
se aproxima de 0.
- Para o numerador
: À medida que se aproxima de 0 pelo lado positivo, tende a . - Para o denominador
: Sabemos que , então tende a 0, e também tende a .
Portanto, temos uma forma indeterminada do tipo
, que é semelhante à
e onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicada.
Passo 3
A regra de L’Hôpital nos diz que se
resulta em uma forma indeterminada
ou
, então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente:
Passo 4
Vamos aplicar a regra de L’Hôpital ao nosso limite:
Calculando as derivadas:
- Derivada do numerador
:
- Derivada do denominador
:
Primeiro, aplicamos a regra da cadeia:
Então:
Passo 5
Substituindo as derivadas no limite:
Simplificando a expressão:
Passo 6
Agora, vamos simplificar
. Sabemos que para valores pequenos de
, podemos usar a expansão de Taylor para
:
Portanto:
E
para
próximo de 0.
Passo 7
Substituindo essas aproximações na expressão:
Resposta
O limite
é igual a
.