Calcule os limites da forma:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite . Isso envolve o conteúdo de limites, especificamente limites que resultam em formas indeterminadas como ou . Para resolver isso, vamos precisar usar algumas propriedades dos logaritmos e a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento do numerador e do denominador quando se aproxima de 0.
  • Para o numerador : À medida que se aproxima de 0 pelo lado positivo, tende a .
  • Para o denominador : Sabemos que , então tende a 0, e também tende a .
Portanto, temos uma forma indeterminada do tipo , que é semelhante à e onde a regra de L’Hôpital pode ser aplicada.

Passo 3

A regra de L’Hôpital nos diz que se resulta em uma forma indeterminada ou , então podemos calcular o limite derivando o numerador e o denominador separadamente:

Passo 4

Vamos aplicar a regra de L’Hôpital ao nosso limite:
Calculando as derivadas:
  • Derivada do numerador :
  • Derivada do denominador :
Primeiro, aplicamos a regra da cadeia:
Então:

Passo 5

Substituindo as derivadas no limite:
Simplificando a expressão:

Passo 6

Agora, vamos simplificar . Sabemos que para valores pequenos de , podemos usar a expansão de Taylor para :
Portanto:
E para próximo de 0.

Passo 7

Substituindo essas aproximações na expressão:

Resposta

O limite é igual a .

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