Calcular
, onde
é a região do primeiro quadrante delimitada por
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral dupla
, onde a região
está no primeiro quadrante e é limitada pelas curvas
,
,
e
. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região
.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região
. No primeiro quadrante, as curvas
e
são círculos com raios 1 e 2, respectivamente. A reta
e o eixo
(que é o eixo
) também delimitam essa região. Então,
é a área entre os dois círculos, de
até
.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, já que as fronteiras de
são círculos. Nas coordenadas polares, temos:
-
-
- A integral dupla em coordenadas polares inclui um fator de
, então
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração para
e
.
- O raio
varia de 1 a 2, porque estamos entre os círculos e . - O ângulo
varia de 0 a , já que a reta corresponde a ou radianos.
Passo 5
Com os limites definidos, podemos expressar a integral em coordenadas polares:
Aqui, substituímos
por
e
por
.
Passo 6
Vamos resolver a integral interna com relação a
primeiro:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Sabemos que
e
.
Passo 8
Substituindo os valores das funções trigonométricas:
Resposta
Portanto, o valor da integral dupla é
.
Exercícios relacionados
Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
.
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.
Use coordenadas polares para calcular as integrais.
Verifique a igualdade
do teorema de Stokes com
e
o hemisfério
e
com orientação para cima. Lembre-se de orientar
de forma compatível com a orientação de
.