Calcular integral duplaD x d y d x, onde D é a região do primeiro quadrante delimitada por x^2+y^2= 4, x^2+y^2=1, y=x e y=0.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer calcular a integral dupla integral duplaD x , dy , dx, onde a região D está no primeiro quadrante e é limitada pelas curvas x^2+y^2=4, x^2+y^2=1, y=x e y=0. Isso envolve o conteúdo de cálculo integral, especificamente integrais duplas, e vamos precisar entender como definir os limites de integração para a região D.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região D. No primeiro quadrante, as curvas x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4 são círculos com raios 1 e 2, respectivamente. A reta y=x e o eixo y=0 (que é o eixo x) também delimitam essa região. Então, D é a área entre os dois círculos, de y=0 até y=x.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos usar coordenadas polares, já que as fronteiras de D são círculos. Nas coordenadas polares, temos:
  • x = r costheta
  • y = r sintheta
  • A integral dupla em coordenadas polares inclui um fator de r, então dA = r, dr, dtheta

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração para r e theta.
  • O raio r varia de 1 a 2, porque estamos entre os círculos x^2+y^2=1 e x^2+y^2=4.
  • O ângulo theta varia de 0 a pi/4, já que a reta y=x corresponde a theta = 45^circ ou theta = pi/4 radianos.

Passo 5

Com os limites definidos, podemos expressar a integral em coordenadas polares:
integral duplaD x , dy , dx = integral0^pi/4 integral1^2 (r costheta) cdot r, dr, dtheta = integral0^pi/4 integral1^2 r^2 costheta, dr, dtheta
Aqui, substituímos x por r costheta e dA por r, dr, dtheta.

Passo 6

Vamos resolver a integral interna com relação a r primeiro:
integral1^2 r^2 costheta, dr = costheta integral1^2 r^2, dr = costheta [ r^33 ]1^2 = costheta ( 83 - 13 ) = costheta cdot 73

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi/4 73 costheta, dtheta = 73 integral0^pi/4 costheta, dtheta = 73 [ sintheta ]0^pi/4 = 73 ( sinpi4 - sin0 )
Sabemos que sinpi4 = raiz22 e sin0 = 0.

Passo 8

Substituindo os valores das funções trigonométricas:
73 ( raiz22 - 0 ) = 73 cdot raiz22 = 7raiz26

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é 7raiz26.

Exercícios relacionados

Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
y'' + sen(x) y' + cos(x) y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 1.
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y'' - (2x + 5) y' - y = 0, y(-2) = 1, y'(-2) = 1.
Use coordenadas polares para calcular as integrais.
integral-2^2 integral-raiz4-x^2^raiz4-x^2 y d y d x
Verifique a igualdade integral duplaS nabla times F cdot d S=integralpartial S F cdot d r do teorema de Stokes com F(x, y, z)=(y, 0,0) e S o hemisfério x^2+y^2+z^2=4 e z >= 0 com orientação para cima. Lembre-se de orientar partial S de forma compatível com a orientação de S.