Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
y'' - (2x + 5) y' - y = 0, y(-2) = 1, y'(-2) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação é:
E as condições iniciais são:
Vamos resolver isso usando o método das séries de potências, ou seja, vamos expandir a solução em uma série de potências centrada em e encontrar os coeficientes até o termo de ordem 5.

Passo 2

Primeiro, vamos assumir que a solução pode ser escrita como uma série de potências em torno de :
Aqui, são os coeficientes que precisamos encontrar.

Passo 3

Vamos calcular as derivadas de :
A primeira derivada :
A segunda derivada :

Passo 4

Agora, substituímos , e na equação diferencial:

Passo 5

Para facilitar, vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam na forma :
  • Para a segunda derivada, substituímos por :
  • Para a primeira derivada multiplicada por , substituímos :
Agora, reorganizamos todas as somas para ter o mesmo expoente:

Passo 6

Agora, combinamos os termos semelhantes:
Para que essa igualdade valha para todo , os coeficientes de cada potência de devem ser iguais a zero.

Passo 7

Igualando os coeficientes a zero:
Para :
Simplificando:
Essa é a relação de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes em função de .

Passo 8

Agora, usamos as condições iniciais para determinar e .
Sabemos que:
Substituindo na série:
Então, .
A primeira derivada:
Calculando :
Então, .

Passo 9

Agora, usamos a relação de recorrência para encontrar os próximos coeficientes até :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :
  1. Para :

Resposta

A solução aproximada até o termo de ordem 5 é:

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x y'' - y' + x y = 0, y(2) = 1, y'(2) = 2.
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