Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial de segunda ordem. A equação é:
E as condições iniciais são:
Vamos resolver isso usando o método das séries de potências, ou seja, vamos expandir a solução
em uma série de potências centrada em
e encontrar os coeficientes até o termo de ordem 5.
Passo 2
Primeiro, vamos assumir que a solução
pode ser escrita como uma série de potências em torno de
:
Aqui,
são os coeficientes que precisamos encontrar.
Passo 3
Vamos calcular as derivadas de
:
A primeira derivada
:
A segunda derivada
:
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Passo 5
Para facilitar, vamos ajustar os índices das somas para que todas estejam na forma
:
- Para a segunda derivada, substituímos
por :
- Para a primeira derivada multiplicada por
, substituímos :
Agora, reorganizamos todas as somas para ter o mesmo expoente:
Passo 6
Agora, combinamos os termos semelhantes:
Para que essa igualdade valha para todo
, os coeficientes de cada potência de
devem ser iguais a zero.
Passo 7
Igualando os coeficientes a zero:
Para
:
Simplificando:
Essa é a relação de recorrência que nos permite encontrar os coeficientes
em função de
.
Passo 8
Agora, usamos as condições iniciais para determinar
e
.
Sabemos que:
Substituindo
na série:
Então,
.
A primeira derivada:
Calculando
:
Então,
.
Passo 9
Agora, usamos a relação de recorrência para encontrar os próximos coeficientes até
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Resposta
A solução aproximada até o termo de ordem 5 é:
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Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
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Determine duas soluções l.i. pelo método de séries de potências:
Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
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Calcular
, onde
é a região do primeiro quadrante delimitada por
e
.