Resolva os problemas de valor incial abaixo pelo método das séries de potências, encontrando até o termo de ordem 5 :
y'' + sen(x) y' + cos(x) y = 0, y(0) = 2, y'(0) = 1.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você tem aí. A gente precisa resolver uma equação diferencial de segunda ordem usando o método das séries de potências. A equação é:
Com as condições iniciais:
Para resolver isso, vamos precisar entender como expandir as funções e em séries de potências e depois montar a série para até o termo de ordem 5.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é a expansão em série de potências para e . A série de Taylor para essas funções em torno de 0 são:
Vamos precisar dessas expansões para substituir na equação diferencial.

Passo 3

Agora, vamos supor que a solução pode ser escrita como uma série de potências:
Derivando essa série, temos:
Vamos substituir , e na equação diferencial.

Passo 4

Substituindo na equação:
Usando as expansões:
Agora, vamos multiplicar e coletar os termos de mesma potência de até .

Passo 5

Vamos expandir cada parte até :
  1. :
  1. :
Multiplicando:
  1. :
Multiplicando:

Passo 6

Agora, somamos todas essas partes e igualamos a zero:
Agora, vamos agrupar os termos de mesma potência de :
  • Termo constante ( ):
  • Termo de :
  • Termo de :
  • Termo de :
Simplificando:
  • Termo de :
Simplificando:
  • Termo de :
Simplificando:

Passo 7

Agora, usamos as condições iniciais para encontrar alguns coeficientes:
Sabemos que:
Vamos usar essas informações nas equações que encontramos.
  1. Do termo constante:
  1. Do termo de :
  1. Do termo de :
  1. Do termo de :
  1. Do termo de :
Aqui percebemos que a equação para não foi satisfeita, o que indica que precisamos ajustar nossos cálculos ou considerar termos de ordem superior. Porém, como estamos limitando a ordem 5, vamos manter os coeficientes encontrados até agora.

Resposta

A solução aproximada até o termo de ordem 5 é:

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