Calcular , sendo a parte da superficie , delimitada pelos planos e .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde é a parte da superfície definida pela equação . Essa superfície está limitada pelos planos , , e . Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo multivariado, especialmente integração sobre superfícies. Precisaremos parametrizar a superfície, encontrar o elemento de área e montar a integral para calcular.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a superfície . A equação nos mostra que, para cada valor de , o valor de é o quadrado de . Como não há restrição para na equação da superfície, pode variar livremente, mas está limitado entre e pelo enunciado.
Passo 3
Vamos parametrizar a superfície . Uma forma comum de fazer isso é expressar as coordenadas em termos de dois parâmetros. Aqui, podemos escolher e como nossos parâmetros. Assim, a parametrização fica:
onde varia de a e varia de a .
Passo 4
Agora, precisamos calcular o elemento de área . Para isso, usamos o produto vetorial das derivadas parciais da parametrização em relação aos parâmetros escolhidos ( e ).
Primeiro, calculamos as derivadas parciais:
O produto vetorial dessas derivadas é:
O módulo desse vetor nos dá o elemento de área:
| partial rpartial x times partial rpartial z | = raiz(2x)^2 + (-1)^2 + 0^2 = raiz4x^2 + 1
Portanto, dS = raiz4x^2 + 1 , dx , dz.
Passo 5
Agora, vamos montar a integral dupla. A função que vamos integrar é x z, e o elemento de área é raiz4x^2 + 1 , dx , dz. Os limites de integração são de x=0 a x=2 e de z=0 a z=4. Assim, a integral fica:
integral duplaS x z , dS = integralx=0^2 integralz=0^4 x z raiz4x^2 + 1 , dz , dx
Passo 6
Vamos integrar em relação a z primeiro. A integral interna é:
integral0^4 x z raiz4x^2 + 1 , dz
Como x e raiz4x^2 + 1 são constantes em relação a z, podemos fatorá-los:
x raiz4x^2 + 1 integral0^4 z , dz
Integrando z de 0 a 4:
integral0^4 z , dz = [ z^22 ]0^4 = 162 - 0 = 8
Portanto, a integral interna resulta em:
x raiz4x^2 + 1 times 8 = 8x raiz4x^2 + 1
Passo 7
Agora, substituímos esse resultado na integral externa:
integral0^2 8x raiz4x^2 + 1 , dx
Podemos fatorar o 8:
8 integral0^2 x raiz4x^2 + 1 , dx
Passo 8
Para resolver essa integral, vamos fazer uma substituição. Seja: