Reação de hidratação O concreto armado é o elemento estrutural mais usado no mundo por conta do seu alto custo-benefício. Além da resistência que pode adquirir, possui um custo relativamente baixo comparado com outras alternativas de construção. Porém, os cuidados que se deve tomar com o concreto para garantir a sua eficiência e sua durabilidade são grandes. Um desses cuidados referese às ações para combater o calor de hidratação do cimento na mistura do concreto. O processo de hidratação do cimento é exotérmico, ou seja, libera calor enquanto a reação química ocorre. Parte deste calor liberado é absorvido pelo próprio concreto, elevando a temperatura da mistura. Devido ao crescimento do número de edifícios cada vez mais altos, a execução de peças muito robustas, com grande volume de concreto, passou a ser comum nas obras mais convencionais, e não mais apenas em obras especiais, como barragens e pontes. A produção de grandes volumes de concreto, portanto, necessita de cuidados especiais para que a temperatura no interior do concreto seja dissipada antes de atingir valores muito altos, o que pode causar fissuração interna do concreto e, consequentemente, perda de resistência. O nome dado a este fenômeno é calor de hidratação, que é um problema térmico de natureza intrínseca do concreto. E todo concreto que necessite de estudos prévios para o controle deste problema é chamado de concreto massa. Em geral, os problemas por elevação descontrolada do calor de hidratação aparecem no sétimo dia, quando as reações internas diminuem e a temperatura do concreto começa a cair. São muitos fatores que influenciam a temperatura interna final atingida pelo concreto: tipo do cimento, quantidade de água, temperatura ambiente, temperatura de lançamento do concreto, espessura das camadas de concreto etc. Para evitar o problema térmico no concreto, deve-se fazer uma análise aprofundada de todos os fatores que podem resultar no aumento de temperatura no seu interior e controlar o que possivelmente poderá vir a ser um problema para a estrutura.
APLICAÇÃO: Supondo que a distribuição de temperatura em certo instante em uma seção transversal de um bloco de concreto seja dada por
(
), cujas arestas da seção transversal tem vértices iguais a (-2, -2), (2, -2), (2, 2) e (-2, 2), determine:
a) As curvas de nível de
.
b) O vetor gradiente de temperatura.
c) Partindo do (1, 1), em qual direção a temperatura aumenta.
d) Partindo do ponto (-1, -1), em qual direção a temperatura aumenta.
e) Partido do ponto ( 0,0 ), em qual direção a temperatura aumenta.
f) Quais são as temperaturas máxima e mínima na seção transversal?
g) Supondo que a temperatura de deposição do concreto era de
e que uma elevação de temperatura superior a
provoque a fissuração térmica, indique a região onde tais fissuras poderiam ocorrer naquele instante.
APLICAÇÃO: Supondo que a distribuição de temperatura em certo instante em uma seção transversal de um bloco de concreto seja dada por
a) As curvas de nível de
b) O vetor gradiente de temperatura.
c) Partindo do (1, 1), em qual direção a temperatura aumenta.
d) Partindo do ponto (-1, -1), em qual direção a temperatura aumenta.
e) Partido do ponto ( 0,0 ), em qual direção a temperatura aumenta.
f) Quais são as temperaturas máxima e mínima na seção transversal?
g) Supondo que a temperatura de deposição do concreto era de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a distribuição de temperatura em uma seção transversal de um bloco de concreto, onde a temperatura é dada pela função
(em graus Celsius). As arestas da seção são de -2 a 2 tanto em
quanto em
. Vamos resolver os itens de a) a g) usando conceitos de curvas de nível, gradiente e análise térmica. Para isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam e como calcular derivadas parciais e vetores gradiente.
Passo 2
a) As curvas de nível de
.
Curvas de nível são linhas onde a função
mantém um valor constante. Para encontrar as curvas de nível, fixamos
e resolvemos em termos de
e
:
Isso representa círculos com raio
centrados na origem.
Passo 3
b) O vetor gradiente de temperatura.
O vetor gradiente de uma função
é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,
Passo 4
c) Partindo do (1, 1), em qual direção a temperatura aumenta.
A direção de aumento mais rápido da temperatura é na direção do vetor gradiente
. Calculando no ponto (1,1):
Portanto, a temperatura aumenta na direção de
.
Passo 5
d) Partindo do ponto (-1, -1), em qual direção a temperatura aumenta.
Calculando o gradiente no ponto (-1, -1):
Assim, a temperatura aumenta na direção de
.
Passo 6
e) Partindo do ponto (0,0), em qual direção a temperatura aumenta.
Calculando o gradiente no ponto (0,0):
Neste caso, o vetor gradiente é zero, o que significa que não há direção de aumento de temperatura no ponto (0,0); este ponto é um ponto crítico (máximo local).
Passo 7
f) Quais são as temperaturas máxima e mínima na seção transversal?
Para encontrar os extremos, analisamos a função
.
- Máxima temperatura: Ocorre no ponto onde
e :
- Mínima temperatura: Ocorre nos vértices da seção transversal, por exemplo, em (2,2):
Portanto, a temperatura máxima é
e a mínima é
.
Passo 8
g) Supondo que a temperatura de deposição do concreto era de
e que uma elevação de temperatura superior a
provoque a fissuração térmica, indique a região onde tais fissuras poderiam ocorrer naquele instante.
A fissuração ocorre quando a temperatura excede
. Portanto, precisamos encontrar os pontos onde
:
Isso representa o interior de um círculo de raio 2 centrado na origem. Entretanto, considerando as arestas da seção vão de -2 a 2, a região onde
abrange toda a seção. Porém, já que a temperatura mínima na borda é
e no centro é
, a região onde
é o interior do círculo de raio
, ou seja, toda a seção transversal.
Resposta
a) As curvas de nível de
são círculos centrados na origem com equação
, onde
é a constante de temperatura.
b) O vetor gradiente de temperatura é
.
c) Partindo do ponto (1, 1), a temperatura aumenta na direção do vetor
.
d) Partindo do ponto (-1, -1), a temperatura aumenta na direção do vetor
.
e) Partindo do ponto (0,0), não há direção de aumento de temperatura, já que o vetor gradiente é
.
f) A temperatura máxima na seção transversal é
no ponto (0,0) e a mínima é
nos vértices da seção.
g) As fissuras térmicas poderiam ocorrer em toda a região da seção transversal, já que a temperatura no centro (36°C) excede os limites de
durante o processo.
Exercícios relacionados
Calcular
, sendo
a parte da superficie
, delimitada pelos planos
e
.
Calcule os limites abażco se existirem. Caso contrário justifique sua resposta.
Sejam os conjuntos
e
. Sabese que qualquer subconjunto de
está contido em
, que por sua vez é subconjunto de
.
Quantos são os possíveis conjuntos ?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Quantos são os possíveis conjuntos
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
Observe os conjuntos
e
. Sabendo-se que
representa o número total de elementos de um conjunto
, e que
é o conjunto formado por todos os subconjuntos do conjunto
, podese afirmar que
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .
a)
b)
c)
d)
e)