Reação de hidratação O concreto armado é o elemento estrutural mais usado no mundo por conta do seu alto custo-benefício. Além da resistência que pode adquirir, possui um custo relativamente baixo comparado com outras alternativas de construção. Porém, os cuidados que se deve tomar com o concreto para garantir a sua eficiência e sua durabilidade são grandes. Um desses cuidados referese às ações para combater o calor de hidratação do cimento na mistura do concreto. O processo de hidratação do cimento é exotérmico, ou seja, libera calor enquanto a reação química ocorre. Parte deste calor liberado é absorvido pelo próprio concreto, elevando a temperatura da mistura. Devido ao crescimento do número de edifícios cada vez mais altos, a execução de peças muito robustas, com grande volume de concreto, passou a ser comum nas obras mais convencionais, e não mais apenas em obras especiais, como barragens e pontes. A produção de grandes volumes de concreto, portanto, necessita de cuidados especiais para que a temperatura no interior do concreto seja dissipada antes de atingir valores muito altos, o que pode causar fissuração interna do concreto e, consequentemente, perda de resistência. O nome dado a este fenômeno é calor de hidratação, que é um problema térmico de natureza intrínseca do concreto. E todo concreto que necessite de estudos prévios para o controle deste problema é chamado de concreto massa. Em geral, os problemas por elevação descontrolada do calor de hidratação aparecem no sétimo dia, quando as reações internas diminuem e a temperatura do concreto começa a cair. São muitos fatores que influenciam a temperatura interna final atingida pelo concreto: tipo do cimento, quantidade de água, temperatura ambiente, temperatura de lançamento do concreto, espessura das camadas de concreto etc. Para evitar o problema térmico no concreto, deve-se fazer uma análise aprofundada de todos os fatores que podem resultar no aumento de temperatura no seu interior e controlar o que possivelmente poderá vir a ser um problema para a estrutura.
APLICAÇÃO: Supondo que a distribuição de temperatura em certo instante em uma seção transversal de um bloco de concreto seja dada por T(x, y) = 36 - x^2 - y^2 ( em ^circ C ), cujas arestas da seção transversal tem vértices iguais a (-2, -2), (2, -2), (2, 2) e (-2, 2), determine:
a) As curvas de nível de T(x, y).
b) O vetor gradiente de temperatura.
c) Partindo do (1, 1), em qual direção a temperatura aumenta.
d) Partindo do ponto (-1, -1), em qual direção a temperatura aumenta.
e) Partido do ponto ( 0,0 ), em qual direção a temperatura aumenta.
f) Quais são as temperaturas máxima e mínima na seção transversal?
g) Supondo que a temperatura de deposição do concreto era de 28 °C e que uma elevação de temperatura superior a 4 grau C provoque a fissuração térmica, indique a região onde tais fissuras poderiam ocorrer naquele instante.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre a distribuição de temperatura em uma seção transversal de um bloco de concreto, onde a temperatura é dada pela função (em graus Celsius). As arestas da seção são de -2 a 2 tanto em quanto em . Vamos resolver os itens de a) a g) usando conceitos de curvas de nível, gradiente e análise térmica. Para isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam e como calcular derivadas parciais e vetores gradiente.

Passo 2

a) As curvas de nível de .
Curvas de nível são linhas onde a função mantém um valor constante. Para encontrar as curvas de nível, fixamos e resolvemos em termos de e :
Isso representa círculos com raio centrados na origem.

Passo 3

b) O vetor gradiente de temperatura.
O vetor gradiente de uma função é dado por:
Calculando as derivadas parciais:
Portanto,

Passo 4

c) Partindo do (1, 1), em qual direção a temperatura aumenta.
A direção de aumento mais rápido da temperatura é na direção do vetor gradiente . Calculando no ponto (1,1):
Portanto, a temperatura aumenta na direção de .

Passo 5

d) Partindo do ponto (-1, -1), em qual direção a temperatura aumenta.
Calculando o gradiente no ponto (-1, -1):
Assim, a temperatura aumenta na direção de .

Passo 6

e) Partindo do ponto (0,0), em qual direção a temperatura aumenta.
Calculando o gradiente no ponto (0,0):
Neste caso, o vetor gradiente é zero, o que significa que não há direção de aumento de temperatura no ponto (0,0); este ponto é um ponto crítico (máximo local).

Passo 7

f) Quais são as temperaturas máxima e mínima na seção transversal?
Para encontrar os extremos, analisamos a função .
  • Máxima temperatura: Ocorre no ponto onde e :
  • Mínima temperatura: Ocorre nos vértices da seção transversal, por exemplo, em (2,2):
Portanto, a temperatura máxima é e a mínima é .

Passo 8

g) Supondo que a temperatura de deposição do concreto era de e que uma elevação de temperatura superior a provoque a fissuração térmica, indique a região onde tais fissuras poderiam ocorrer naquele instante.
A fissuração ocorre quando a temperatura excede . Portanto, precisamos encontrar os pontos onde :
Isso representa o interior de um círculo de raio 2 centrado na origem. Entretanto, considerando as arestas da seção vão de -2 a 2, a região onde abrange toda a seção. Porém, já que a temperatura mínima na borda é e no centro é , a região onde é o interior do círculo de raio , ou seja, toda a seção transversal.

Resposta

a) As curvas de nível de são círculos centrados na origem com equação , onde é a constante de temperatura.
b) O vetor gradiente de temperatura é .
c) Partindo do ponto (1, 1), a temperatura aumenta na direção do vetor .
d) Partindo do ponto (-1, -1), a temperatura aumenta na direção do vetor .
e) Partindo do ponto (0,0), não há direção de aumento de temperatura, já que o vetor gradiente é .
f) A temperatura máxima na seção transversal é no ponto (0,0) e a mínima é nos vértices da seção.
g) As fissuras térmicas poderiam ocorrer em toda a região da seção transversal, já que a temperatura no centro (36°C) excede os limites de durante o processo.

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lim x 0,5 2 x-12 x^3-x^2
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