Calcule os limites abażco se existirem. Caso contrário justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
. Aqui a gente vai usar o conteúdo de limites e funções algébricas. Precisamos verificar o que acontece com o numerador e o denominador quando
se aproxima de 0,5.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir
diretamente na função para ver se conseguimos calcular o limite assim mesmo.
Numerador:
Denominador:
Então, temos uma forma
, que é indeterminada. Isso significa que precisamos simplificar a expressão para resolver o limite.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão
. Observamos que o denominador pode ser fatorado:
Então, a fração fica:
Agora, percebemos que
aparece tanto no numerador quanto no denominador, então podemos cancelar esse termo (desde que
, o que é verdade porque estamos considerando
, onde
).
Passo 4
Após cancelar, a expressão simplificada fica:
Agora, vamos calcular o limite dessa nova função quando
:
Resposta
O limite é igual a 4.
Exercícios relacionados
Calcular a área da superficie plana
recortada pelo cone
.
Uma superficie
é representada pela equação vetorial
Determinar a área de
.
Calcular
, sendo
a parte da superficie
, delimitada pelos planos
e
.
Reação de hidratação O concreto armado é o elemento estrutural mais usado no mundo por conta do seu alto custo-benefício. Além da resistência que pode adquirir, possui um custo relativamente baixo comparado com outras alternativas de construção. Porém, os cuidados que se deve tomar com o concreto para garantir a sua eficiência e sua durabilidade são grandes. Um desses cuidados referese às ações para combater o calor de hidratação do cimento na mistura do concreto. O processo de hidratação do cimento é exotérmico, ou seja, libera calor enquanto a reação química ocorre. Parte deste calor liberado é absorvido pelo próprio concreto, elevando a temperatura da mistura. Devido ao crescimento do número de edifícios cada vez mais altos, a execução de peças muito robustas, com grande volume de concreto, passou a ser comum nas obras mais convencionais, e não mais apenas em obras especiais, como barragens e pontes. A produção de grandes volumes de concreto, portanto, necessita de cuidados especiais para que a temperatura no interior do concreto seja dissipada antes de atingir valores muito altos, o que pode causar fissuração interna do concreto e, consequentemente, perda de resistência. O nome dado a este fenômeno é calor de hidratação, que é um problema térmico de natureza intrínseca do concreto. E todo concreto que necessite de estudos prévios para o controle deste problema é chamado de concreto massa. Em geral, os problemas por elevação descontrolada do calor de hidratação aparecem no sétimo dia, quando as reações internas diminuem e a temperatura do concreto começa a cair. São muitos fatores que influenciam a temperatura interna final atingida pelo concreto: tipo do cimento, quantidade de água, temperatura ambiente, temperatura de lançamento do concreto, espessura das camadas de concreto etc. Para evitar o problema térmico no concreto, deve-se fazer uma análise aprofundada de todos os fatores que podem resultar no aumento de temperatura no seu interior e controlar o que possivelmente poderá vir a ser um problema para a estrutura.
APLICAÇÃO: Supondo que a distribuição de temperatura em certo instante em uma seção transversal de um bloco de concreto seja dada por (
), cujas arestas da seção transversal tem vértices iguais a (-2, -2), (2, -2), (2, 2) e (-2, 2), determine:
a) As curvas de nível de .
b) O vetor gradiente de temperatura.
c) Partindo do (1, 1), em qual direção a temperatura aumenta.
d) Partindo do ponto (-1, -1), em qual direção a temperatura aumenta.
e) Partido do ponto ( 0,0 ), em qual direção a temperatura aumenta.
f) Quais são as temperaturas máxima e mínima na seção transversal?
g) Supondo que a temperatura de deposição do concreto era de e que uma elevação de temperatura superior a
provoque a fissuração térmica, indique a região onde tais fissuras poderiam ocorrer naquele instante.
APLICAÇÃO: Supondo que a distribuição de temperatura em certo instante em uma seção transversal de um bloco de concreto seja dada por
a) As curvas de nível de
b) O vetor gradiente de temperatura.
c) Partindo do (1, 1), em qual direção a temperatura aumenta.
d) Partindo do ponto (-1, -1), em qual direção a temperatura aumenta.
e) Partido do ponto ( 0,0 ), em qual direção a temperatura aumenta.
f) Quais são as temperaturas máxima e mínima na seção transversal?
g) Supondo que a temperatura de deposição do concreto era de