Calcular a integral de linha de ao longo de uma circunferência de raio , descrita pelo vetor do ponto até o ponto (0,1).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de uma circunferência de raio . Essa circunferência é descrita pelo vetor posição e vai do ponto até o ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a circunferência . Como é uma circunferência de raio 1, podemos usar coordenadas polares para facilitar. A parametrização geral de uma circunferência de raio 1 no plano é dada por:
onde varia de a . Contudo, no nosso caso, a circunferência começa no ponto e termina em . Vamos encontrar os valores de correspondentes a esses pontos.
Para o ponto , sabemos que e , então .
Para o ponto , temos e , então .
Então, nossa parametrização fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a , que é necessária para a integral de linha. A derivada nos dá o vetor tangente à curva:
A integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada por é dada por:
onde e são os valores de que correspondem aos pontos inicial e final da curva.

Passo 4

Vamos substituir na integral. Nosso campo vetorial é . Como estamos trabalhando apenas com e na parametrização, podemos ignorar a componente , já que não há variação nessa direção.
Substituindo e :
Agora, fazemos o produto escalar com :
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica :

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão de a :
Podemos separar a integral:
Calculando a primeira integral:
Para a segunda integral, usamos a substituição:
Assim:
Sabendo que e :

Resposta

Somando as duas partes da integral:
Portanto, o valor da integral de linha é:

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