Calcular a integral de linha de ao longo de uma circunferência de raio , descrita pelo vetor do ponto até o ponto (0,1).
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de uma circunferência de raio . Essa circunferência é descrita pelo vetor posição e vai do ponto até o ponto . Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente integrais de linha e parametrização de curvas.
Passo 2
Primeiro, vamos parametrizar a circunferência . Como é uma circunferência de raio 1, podemos usar coordenadas polares para facilitar. A parametrização geral de uma circunferência de raio 1 no plano é dada por:
onde varia de a . Contudo, no nosso caso, a circunferência começa no ponto e termina em . Vamos encontrar os valores de correspondentes a esses pontos.
Para o ponto , sabemos que e , então .
Para o ponto , temos e , então .
Então, nossa parametrização fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de em relação a , que é necessária para a integral de linha. A derivada nos dá o vetor tangente à curva:
A integral de linha de um campo vetorial ao longo de uma curva parametrizada por é dada por:
onde e são os valores de que correspondem aos pontos inicial e final da curva.
Passo 4
Vamos substituir na integral. Nosso campo vetorial é . Como estamos trabalhando apenas com e na parametrização, podemos ignorar a componente , já que não há variação nessa direção.