Calcular a integral de linha de F = (2x - y) i + (x - y) j + (x + y) k ao longo de uma circunferência gamma de raio r = 1, descrita pelo vetor r = x i + y j do ponto (raiz(3) / 2, 1 / 2) até o ponto (0,1).

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que o problema está pedindo. A gente precisa calcular a integral de linha do campo vetorial ao longo de uma circunferência gamma de raio . Essa circunferência é descrita pelo vetor posição e vai do ponto até o ponto 0,1. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especialmente integrais de linha e parametrização de curvas.

Passo 2

Primeiro, vamos parametrizar a circunferência gamma. Como é uma circunferência de raio 1, podemos usar coordenadas polares para facilitar. A parametrização geral de uma circunferência de raio 1 no plano é dada por:
onde t varia de 0 a . Contudo, no nosso caso, a circunferência começa no ponto e termina em 0,1. Vamos encontrar os valores de t correspondentes a esses pontos.
Para o ponto , sabemos que e , então .
Para o ponto 0,1, temos e , então .
Então, nossa parametrização fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de vec(r)(t) em relação a t, que é necessária para a integral de linha. A derivada nos dá o vetor tangente à curva:
A integral de linha de um campo vetorial F ao longo de uma curva parametrizada por vec(r)(t) é dada por:
onde a e b são os valores de t que correspondem aos pontos inicial e final da curva.

Passo 4

Vamos substituir na integral. Nosso campo vetorial é . Como estamos trabalhando apenas com x e y na parametrização, podemos ignorar a componente k, já que não há variação nessa direção.
Substituindo e :
Agora, fazemos o produto escalar com :
Simplificando:
Usando a identidade trigonométrica :

Passo 5

Agora, vamos integrar essa expressão de a :
Podemos separar a integral:
Calculando a primeira integral:
Para a segunda integral, usamos a substituição:
Assim:
Sabendo que e :

Resposta

Somando as duas partes da integral:
Portanto, o valor da integral de linha é:

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