Calcular , onde é o quadrilátero de vêrtices , .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde é um quadrilátero com vértices em , , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente mudança de variáveis para simplificar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região . Os vértices formam um losango centrado na origem. Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de coordenadas. Observando o denominador , percebemos que uma substituição que envolva e pode simplificar a expressão.

Passo 3

Definimos:
Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar a área de integração. As derivadas parciais são:
O valor absoluto do Jacobiano é .

Passo 4

Expressamos a integral original em termos de e :
A região no novo sistema de coordenadas é um retângulo, o que simplifica bastante a integração.

Passo 5

Determinar os limites de integração. Observando os vértices e as expressões de e , percebemos que varia de a e varia de a .

Passo 6

Integramos primeiro em relação a :
Logo, a integral fica:

Passo 7

Agora, resolvemos a integral em relação a :
Fazemos a substituição , então e . A integral se torna:

Passo 8

Aplicando os limites de :

Resposta

A integral dupla vale .

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Calcular onde
(a) Determine os vetores tangente e normal unitários e .
18.
Determine o Jacobiano das mudanças de váriáveis: .
Calcular