Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde é um quadrilátero com vértices em , , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente mudança de variáveis para simplificar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . Os vértices formam um losango centrado na origem. Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de coordenadas. Observando o denominador , percebemos que uma substituição que envolva e pode simplificar a expressão.
Passo 3
Definimos:
Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar a área de integração. As derivadas parciais são:
O valor absoluto do Jacobiano é 2.
Passo 4
Expressamos a integral original em termos de u e v:
integral duplaD vraiz13 + v^2 cdot 12 , du , dv
A região D no novo sistema de coordenadas é um retângulo, o que simplifica bastante a integração.
Passo 5
Determinar os limites de integração. Observando os vértices e as expressões de u e v, percebemos que v varia de -2 a 2 e u varia de 0 a 4.
Passo 6
Integramos primeiro em relação a u:
integral0^4 du = 4
Logo, a integral fica:
12 cdot 4 cdot integral-2^2 vraiz13 + v^2 , dv = 2 cdot integral-2^2 vraiz13 + v^2 , dv
Passo 7
Agora, resolvemos a integral em relação a v:
integral vraiz13 + v^2 , dv
Fazemos a substituição w = 13 + v^2, então dw = 2v , dv e dw2 = v , dv. A integral se torna:
12 integral 1raizw , dw = 12 cdot 2raizw + C = raizw + C = raiz13 + v^2 + C