Calcular integral duplaD x-yraiz13+x^2-y^2 d x d y, onde D é o quadrilátero de vêrtices (2,0), (4,2),(2,4),(0,2).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla integral duplaD x-yraiz13+x^2-y^2 , dx , dy, onde D é um quadrilátero com vértices em (2,0), (4,2), (2,4) e (0,2). Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente mudança de variáveis para simplificar a integração.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região D. Os vértices formam um losango centrado na origem. Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de coordenadas. Observando o denominador raiz13 + x^2 - y^2, percebemos que uma substituição que envolva u = x + y e v = x - y pode simplificar a expressão.

Passo 3

Definimos:
u = x + y v = x - y
Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar a área de integração. As derivadas parciais são:
partial(u, v)partial(x, y) = partial upartial x & partial upartial y partial vpartial x & partial vpartial y = 1 & 1 1 & -1 = -2
O valor absoluto do Jacobiano é 2.

Passo 4

Expressamos a integral original em termos de u e v:
integral duplaD vraiz13 + v^2 cdot 12 , du , dv
A região D no novo sistema de coordenadas é um retângulo, o que simplifica bastante a integração.

Passo 5

Determinar os limites de integração. Observando os vértices e as expressões de u e v, percebemos que v varia de -2 a 2 e u varia de 0 a 4.

Passo 6

Integramos primeiro em relação a u:
integral0^4 du = 4
Logo, a integral fica:
12 cdot 4 cdot integral-2^2 vraiz13 + v^2 , dv = 2 cdot integral-2^2 vraiz13 + v^2 , dv

Passo 7

Agora, resolvemos a integral em relação a v:
integral vraiz13 + v^2 , dv
Fazemos a substituição w = 13 + v^2, então dw = 2v , dv e dw2 = v , dv. A integral se torna:
12 integral 1raizw , dw = 12 cdot 2raizw + C = raizw + C = raiz13 + v^2 + C

Passo 8

Aplicando os limites de v:
integral-2^2 vraiz13 + v^2 , dv = [ raiz13 + v^2 ]-2^2 = raiz13 + 4 - raiz13 + 4 = raiz17 - raiz17 = 0

Resposta

A integral dupla vale 0.

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