Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral dupla , onde é um quadrilátero com vértices em , , e . Para isso, vamos usar conhecimentos de cálculo integral, especialmente mudança de variáveis para simplificar a integração.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região . Os vértices formam um losango centrado na origem. Para facilitar a integração, vamos fazer uma mudança de coordenadas. Observando o denominador , percebemos que uma substituição que envolva e pode simplificar a expressão.
Passo 3
Definimos:
Agora, precisamos calcular o Jacobiano dessa transformação para ajustar a área de integração. As derivadas parciais são:
O valor absoluto do Jacobiano é .
Passo 4
Expressamos a integral original em termos de e :
A região no novo sistema de coordenadas é um retângulo, o que simplifica bastante a integração.
Passo 5
Determinar os limites de integração. Observando os vértices e as expressões de e , percebemos que varia de a e varia de a .
Passo 6
Integramos primeiro em relação a :
Logo, a integral fica:
Passo 7
Agora, resolvemos a integral em relação a :
Fazemos a substituição , então e . A integral se torna: