Determine o Jacobiano das mudanças de váriáveis: .
Passo 1
Então, a gente tem uma mudança de variáveis onde , e . A matéria envolvida aqui é o cálculo multivariável, especificamente o cálculo do Jacobiano, que nos ajuda a entender como as variáveis mudam de uma coordenada para outra. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais dessas funções e montar a matriz Jacobiana.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever as equações de mudança de variável:
Queremos encontrar o Jacobiano dessa transformação, que é o determinante da matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas.
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas parciais de , e em relação a , e :
Passo 4
Com essas derivadas, montamos a matriz Jacobiana:
Passo 5
Para encontrar o Jacobiano, precisamos calcular o determinante dessa matriz: