Determine o Jacobiano das mudanças de váriáveis: x = u * v, y = v * w, z = w * u.

Passo 1

Então, a gente tem uma mudança de variáveis onde , e . A matéria envolvida aqui é o cálculo multivariável, especificamente o cálculo do Jacobiano, que nos ajuda a entender como as variáveis mudam de uma coordenada para outra. Para resolver isso, vamos precisar calcular as derivadas parciais dessas funções e montar a matriz Jacobiana.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações de mudança de variável:
Queremos encontrar o Jacobiano dessa transformação, que é o determinante da matriz das derivadas parciais das novas variáveis em relação às antigas.

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas parciais de , e em relação a , e :

Passo 4

Com essas derivadas, montamos a matriz Jacobiana:

Passo 5

Para encontrar o Jacobiano, precisamos calcular o determinante dessa matriz:

Resposta

O Jacobiano da mudança de variáveis é .

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