Numa fábrica foram instaladas 1.000 lâmpadas novas. Sabe-se que a duração média das lâmpadas é de 800 horas e desvio-padrão de 100 horas, com distribuição normal. Determinar a quantidade de lâmpadas que durarão:
a) Menos de 500 horas
b) Mais de 700 horas
c) Entre 516 e 684 horas
a) Menos de 500 horas
b) Mais de 700 horas
c) Entre 516 e 684 horas
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre 1.000 lâmpadas novas numa fábrica, que têm uma duração média de 800 horas com um desvio-padrão de 100 horas. A distribuição do tempo de vida dessas lâmpadas é normal, ou seja, em forma de sino. Vamos precisar usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal, como z-score e tabelas de distribuição normal padrão para resolver as partes a), b) e c) do exercício.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição normal. Ela é simétrica e tem a forma de um sino, onde a maioria dos valores se concentra perto da média. O z-score nos ajuda a descobrir quantos desvios-padrão um valor está distante da média. A fórmula para calcular o z-score é:
Onde:
-
é o valor que queremos analisar. -
é a média (800 horas). -
é o desvio-padrão (100 horas).
Passo 3
Parte a) Menos de 500 horas
Vamos calcular quantas lâmpadas duram menos de 500 horas.
- Calcular o z-score para 500 horas:
- Encontrar a probabilidade correspondente a
:
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, a probabilidade de
ser menor que -3 é aproximadamente 0,0013 (ou 0,13%).
- Calcular o número de lâmpadas:
Como não dá pra ter uma fração de lâmpada, arredondamos para 1 lâmpada.
Passo 4
Parte b) Mais de 700 horas
Agora, queremos saber quantas lâmpadas duram mais de 700 horas.
- Calcular o z-score para 700 horas:
- Encontrar a probabilidade correspondente a
:
A probabilidade de
ser menor que -1 é aproximadamente 0,1587 (15,87%). Mas queremos mais de 700 horas, então:
- Calcular o número de lâmpadas:
Arredondando, temos 841 lâmpadas.
Passo 5
Parte c) Entre 516 e 684 horas
Agora, vamos calcular quantas lâmpadas duram entre 516 e 684 horas.
- Calcular o z-score para 516 horas:
- Calcular o z-score para 684 horas:
- Encontrar as probabilidades correspondentes:
- Para
, a probabilidade é aproximadamente 0,0023 (0,23%). - Para
, a probabilidade é aproximadamente 0,1230 (12,30%).
- Calcular a probabilidade entre 516 e 684 horas:
- Calcular o número de lâmpadas:
Arredondando, temos 121 lâmpadas.
Resposta
a) Aproximadamente 1 lâmpada durará menos de 500 horas.
b) Aproximadamente 841 lâmpadas durarão mais de 700 horas.
c) Aproximadamente 121 lâmpadas durarão entre 516 e 684 horas.