Numa fábrica foram instaladas 1.000 lâmpadas novas. Sabe-se que a duração média das lâmpadas é de 800 horas e desvio-padrão de 100 horas, com distribuição normal. Determinar a quantidade de lâmpadas que durarão:
a) Menos de 500 horas
b) Mais de 700 horas
c) Entre 516 e 684 horas

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre 1.000 lâmpadas novas numa fábrica, que têm uma duração média de 800 horas com um desvio-padrão de 100 horas. A distribuição do tempo de vida dessas lâmpadas é normal, ou seja, em forma de sino. Vamos precisar usar conceitos de estatística relacionados à distribuição normal, como z-score e tabelas de distribuição normal padrão para resolver as partes a), b) e c) do exercício.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma distribuição normal. Ela é simétrica e tem a forma de um sino, onde a maioria dos valores se concentra perto da média. O z-score nos ajuda a descobrir quantos desvios-padrão um valor está distante da média. A fórmula para calcular o z-score é:
z = X - musigma
Onde:
  • é o valor que queremos analisar.
  • é a média (800 horas).
  • é o desvio-padrão (100 horas).

Passo 3

Parte a) Menos de 500 horas

Vamos calcular quantas lâmpadas duram menos de 500 horas.
  1. Calcular o z-score para 500 horas:
z = 500 - 800100 = -300100 = -3
  1. Encontrar a probabilidade correspondente a 1000 times 0,0013 = 1,3 :
Consultando a tabela da distribuição normal padrão, a probabilidade de ser menor que -3 é aproximadamente 0,0013 (ou 0,13%).
  1. Calcular o número de lâmpadas:
Como não dá pra ter uma fração de lâmpada, arredondamos para 1 lâmpada.

Passo 4

Parte b) Mais de 700 horas

Agora, queremos saber quantas lâmpadas duram mais de 700 horas.
  1. Calcular o z-score para 700 horas:
z = 700 - 800100 = -100100 = -1
  1. Encontrar a probabilidade correspondente a 1 - 0,1587 = 0,8413 (84,13%) :
A probabilidade de 1000 times 0,8413 = 841,3 ser menor que -1 é aproximadamente 0,1587 (15,87%). Mas queremos mais de 700 horas, então:
  1. Calcular o número de lâmpadas:
Arredondando, temos 841 lâmpadas.

Passo 5

Parte c) Entre 516 e 684 horas

Agora, vamos calcular quantas lâmpadas duram entre 516 e 684 horas.
  1. Calcular o z-score para 516 horas:
z1 = 516 - 800100 = -284100 = -2,84
  1. Calcular o z-score para 684 horas:
z2 = 684 - 800100 = -116100 = -1,16
  1. Encontrar as probabilidades correspondentes:
  • Para 0,1230 - 0,0023 = 0,1207 (12,07%) , a probabilidade é aproximadamente 0,0023 (0,23%).
  • Para 1000 times 0,1207 = 120,7 , a probabilidade é aproximadamente 0,1230 (12,30%).
  1. Calcular a probabilidade entre 516 e 684 horas:
  1. Calcular o número de lâmpadas:
Arredondando, temos 121 lâmpadas.

Resposta

a) Aproximadamente 1 lâmpada durará menos de 500 horas.
b) Aproximadamente 841 lâmpadas durarão mais de 700 horas.
c) Aproximadamente 121 lâmpadas durarão entre 516 e 684 horas.

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