Calcular o limite:
L=lim x -infty 3|x|^3-2 x^2+75 x^3+2|x|^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular o limite quando tende a menos infinito da expressão . Isso envolve o conteúdo de limites no infinito, especialmente lidando com funções polinomiais e valores absolutos. Para resolver, vamos precisar entender como as potências de se comportam quando vai para e como simplificar a expressão para encontrar o limite.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o valor absoluto quando tende a . Sabemos que, para valores negativos de , . Então, quando é muito grande e negativo, podemos substituir por na expressão.

Passo 3

Substituindo 3|x|^3-2 x^2+75 x^3+2|x|^2-1 = 3(-x)^3 - 2x^2 + 75x^3 + 2(-x)^2 - 1 por (-x)^3 = -x^3 e (-x)^2 = x^2 na expressão original:
3(-x^3) - 2x^2 + 75x^3 + 2x^2 - 1 = -3x^3 - 2x^2 + 75x^3 + 2x^2 - 1
Simplificando as potências:
Então, a expressão fica:

Passo 4

Agora, vamos observar que quando -3x^3 - 2x^2 + 75x^3 + 2x^2 - 1 = -3 - 2x + 7x^35 + 2x - 1x^3 tende a , os termos de maior grau (no caso, ) dominam o comportamento da expressão. Então, podemos simplificar dividindo todos os termos pelo maior grau de presente no denominador, que é :

Passo 5

Agora, ao fazer -3 - 0 + 05 + 0 - 0 = -35 , os termos como , tendem a zero. Assim, a expressão simplifica para:

Resposta

O limite é .

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