Decida quais das afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas
.
(1) Se
não converge, então
não converge.
(2) Se
não convergem então
não converge.
(3) Se
, então
convergem.
(4) Se
, então ou
ou
.
(1) Se
(2) Se
(3) Se
(4) Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se quatro afirmações sobre sequências são verdadeiras (V) ou falsas (F). A matéria envolve convergência de sequências. Para resolver, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir e como a soma ou o produto de sequências afeta essa convergência.
Passo 2
Afirmação (1): Se
e
não converge, então
não converge.
Vamos analisar isso. Se
converge para algum número
e
não converge, ao somar
com
, a parte que não converge de
vai “arrastar” a soma, fazendo com que
também não converja. Então, essa afirmação é Verdadeira (V).
Passo 3
Afirmação (2): Se
e
não convergem, então
não converge.
Aqui, parece que se duas sequências não convergem, a soma delas também não deve. Mas vamos pensar: suponha que
e
. Nenhuma das duas sequências converge, mas
para todo
, que claramente converge para 0. Portanto, essa afirmação é Falsa (F).
Passo 4
Afirmação (3): Se
, então
e
convergem.
Vamos ver: se o produto de duas sequências converge para um número
, isso não garante que cada uma das sequências individualmente converge. Por exemplo, se
e
, então
para todo
, que converge para 1. Mas
não converge (vai para o infinito) e
converge para 0. Como nem todas as sequências envolvidas convergem, a afirmação é Falsa (F).
Passo 5
Afirmação (4): Se
, então ou
ou
.
Para essa, se o produto das sequências tende a zero, pelo menos uma das sequências deve estar se aproximando de zero. Por exemplo, se
e
, então
. Aqui,
, mesmo que
não converja. Não dá para ter o produto indo a zero sem que pelo menos uma das sequências vá a zero. Então, a afirmação é Verdadeira (V).
Resposta
(1) V, (2) F, (3) F, (4) V
Exercícios relacionados
Seja
uma função tal que
. Calcule o limite:
Sejam
e
duas sequências de números reais, e suponha que
. Calcule o limite do produto:
.
Calcular o limite:
Qual o limite da sequência
?