Decida quais das afirmações abaixo são verdadeiras (V) ou falsas .
(1) Se não converge, então não converge.
(2) Se não convergem então não converge.
(3) Se , então convergem.
(4) Se , então ou ou .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se quatro afirmações sobre sequências são verdadeiras (V) ou falsas (F). A matéria envolve convergência de sequências. Para resolver, vamos lembrar o que significa uma sequência convergir e como a soma ou o produto de sequências afeta essa convergência.

Passo 2

Afirmação (1): Se e não converge, então não converge.
Vamos analisar isso. Se converge para algum número e não converge, ao somar com , a parte que não converge de vai “arrastar” a soma, fazendo com que também não converja. Então, essa afirmação é Verdadeira (V).

Passo 3

Afirmação (2): Se e não convergem, então não converge.
Aqui, parece que se duas sequências não convergem, a soma delas também não deve. Mas vamos pensar: suponha que e . Nenhuma das duas sequências converge, mas para todo , que claramente converge para 0. Portanto, essa afirmação é Falsa (F).

Passo 4

Afirmação (3): Se , então e convergem.
Vamos ver: se o produto de duas sequências converge para um número , isso não garante que cada uma das sequências individualmente converge. Por exemplo, se e , então para todo , que converge para 1. Mas não converge (vai para o infinito) e converge para 0. Como nem todas as sequências envolvidas convergem, a afirmação é Falsa (F).

Passo 5

Afirmação (4): Se , então ou ou .
Para essa, se o produto das sequências tende a zero, pelo menos uma das sequências deve estar se aproximando de zero. Por exemplo, se e , então . Aqui, , mesmo que não converja. Não dá para ter o produto indo a zero sem que pelo menos uma das sequências vá a zero. Então, a afirmação é Verdadeira (V).

Resposta

(1) V, (2) F, (3) F, (4) V

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