Seja f: R R uma função tal que lim x 0 f(x)x=2. Calcule o limite:
L=lim x 0 f(3 x)sin (2 x)

Passo 1

Vamos resolver um problema de limites envolvendo funções e manipulações de limites básicos. O enunciado nos dá que lim x 0 f(x)x=2 e pede para calcular o limite L=lim x 0 f(3x)sin (2x). Para resolver, vamos precisar entender como os limites se comportam quando a função é composta com multiplicações e funções trigonométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o limite que já conhecemos: lim x 0 f(x)x=2. Isso significa que, perto de zero, a função f(x) se comporta aproximadamente como 2x. Então, podemos dizer que f(x) approx 2x quando x está próximo de 0.

Passo 3

Agora, queremos encontrar lim x 0 f(3x)sin (2x). Para facilitar, vamos substituir f(3x) usando a aproximação que encontramos: f(3x) approx 2 cdot 3x = 6x. Então, o limite fica aproximadamente lim x 0 6xsin (2x).

Passo 4

Sabemos que lim x 0 sin(ax)ax = 1, onde a é uma constante. Isso significa que sin(ax) approx ax quando x está próximo de 0. Aplicando isso ao denominador, temos sin(2x) approx 2x. Portanto, o limite se torna lim x 0 6x2x.

Passo 5

Simplificando a expressão 6x2x, os x se cancelam e sobra 62 = 3. Portanto, o limite L é igual a 3.

Resposta

L = 3

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