Qual o limite da sequência 0, 1/2, 2/3, 4/5, 5/6, 6/7, ... ?

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar o limite da sequência 0, 1/2, 2/3, 4/5, 5/6, 6/7, .... Esse problema está relacionado ao estudo de sequências e limites na matemática. Para resolver, vamos precisar entender como identificar o limite de uma sequência quando o número de termos tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a regra geral que define cada termo da sequência. Observando os termos:
  • Primeiro termo:
  • Segundo termo: 1/2
  • Terceiro termo: 2/3
  • Quarto termo: 4/5
  • Quinto termo: 5/6
  • Sexto termo: 6/7
Parece que a sequência alterna entre incrementar o numerador e o denominador. No entanto, para simplificar, vamos considerar a tendência dos termos conforme n cresce.

Passo 3

Para encontrar o limite da sequência quando n tende ao infinito, usamos a definição de limite:
onde L é o valor para o qual os termos da sequência se aproximam conforme n aumenta.

Passo 4

Vamos expressar o termo geral da sequência. Observando os termos, podemos notar que a partir do terceiro termo, a sequência segue a forma:
Por exemplo:
  • Para :
  • Para :
(Embora haja uma pequena variação nos primeiros termos, para grandes valores de n, a expressão é apropriada.)

Passo 5

Agora, calculamos o limite dessa expressão conforme n tende ao infinito:
Podemos dividir numerador e denominador por n:

Passo 6

Sabemos que:
Portanto:

Resposta

O limite da sequência é 1.

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