Calcular os limites a seguir, aplicando os limites fundamentais:
Passo 1
Vamos calcular o limite
. Esse exercício está relacionado ao conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas e polinômios. Para resolvê-lo, vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam perto de zero e aplicar técnicas de expansão em séries ou usar regras de derivação como a Regra de L’Hôpital.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o comportamento da função
quando
se aproxima de 0. Sabemos que para valores pequenos de
,
pode ser aproximada pela sua expansão em série de Taylor:
Aplicando isso para
:
Passo 3
Agora, substituímos essa aproximação na expressão do limite:
Simplificando cada termo:
Passo 4
Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo quando
se aproxima de 0:
-
tende a se se aproxima de 0 por valores positivos. -
também tende a nesse mesmo cenário. - Os demais termos tendem a 0.
Portanto, o termo dominante é
que cresce sem limites à medida que
se aproxima de 0.
Resposta
O limite
é igual a
.
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A reta tangente à curva
, no seu ponto
, tem equação
Verifique a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados:
, no ponto
Calcular os limites a seguir, aplicando os limites fundamentais: