Calcular os limites a seguir, aplicando os limites fundamentais: lim x 0 tg 2 x4 x^4

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas e polinômios. Para resolvê-lo, vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam perto de zero e aplicar técnicas de expansão em séries ou usar regras de derivação como a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função tan x approx x + x^33 + 2x^515 + dots quando tan 2x approx 2x + (2x)^33 + 2(2x)^515 + dots = 2x + 8x^33 + 64x^515 + dots se aproxima de 0. Sabemos que para valores pequenos de , pode ser aproximada pela sua expansão em série de Taylor:
Aplicando isso para :

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão do limite:
tan 2x4x^4 approx 2x + 8x^33 + 64x^515 + dots4x^4 = 2x4x^4 + 8x^334x^4 + 64x^5154x^4 + dots
Simplificando cada termo:
= 24x^3 + 812x + 6460x + dots = 12x^3 + 23x + 1615x + dots

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo quando se aproxima de 0:
  • tende a se se aproxima de 0 por valores positivos.
  • também tende a nesse mesmo cenário.
  • Os demais termos tendem a 0.
Portanto, o termo dominante é que cresce sem limites à medida que se aproxima de 0.

Resposta

O limite é igual a .

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