Calcular os limites a seguir, aplicando os limites fundamentais:

Passo 1

Vamos calcular o limite . Esse exercício está relacionado ao conteúdo de Cálculo de Limites, especificamente envolvendo funções trigonométricas e polinômios. Para resolvê-lo, vamos precisar entender como as funções trigonométricas se comportam perto de zero e aplicar técnicas de expansão em séries ou usar regras de derivação como a Regra de L’Hôpital.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o comportamento da função quando se aproxima de 0. Sabemos que para valores pequenos de , pode ser aproximada pela sua expansão em série de Taylor:
Aplicando isso para :

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão do limite:
Simplificando cada termo:

Passo 4

Agora, vamos analisar o comportamento de cada termo quando se aproxima de 0:
  • tende a se se aproxima de 0 por valores positivos.
  • também tende a nesse mesmo cenário.
  • Os demais termos tendem a 0.
Portanto, o termo dominante é que cresce sem limites à medida que se aproxima de 0.

Resposta

O limite é igual a .

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A reta tangente à curva , no seu ponto , tem equação




Verifique a continuidade das seguintes funções nos pontos indicados: , no ponto
Calcular os limites a seguir, aplicando os limites fundamentais: