A reta tangente à curva x^2/16 + y^2/9 = 1, no seu ponto P = (2, 3 * raiz(3) / 2), tem equação
4y - raiz(3)x = -8 raiz(3)
4y + raiz(3)x = 8 * raiz(3)
-4y + raiz(3)x = 8 * raiz(3)
4y - raiz(3)x = 8 * raiz(3)
4y + raiz(3)x = -8 raiz(3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a equação da reta tangente à curva da elipse x^2/16 + y^2/9 = 1 no ponto . Pra isso, vamos usar conceitos de derivadas e geometria analítica, que nos ajudam a encontrar a inclinação da reta tangente em um ponto específico da curva.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a equação geral da elipse é x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1, onde a e b são os raios maiores e menores, respectivamente. No nosso caso, , então , e , então .

Passo 3

Para encontrar a reta tangente em um ponto específico da elipse, usamos a fórmula da tangente para uma elipse:
onde é o ponto de tangência.

Passo 4

Vamos substituir os valores que temos na fórmula. Nosso ponto de tangência é , então e . Também sabemos que e .

Passo 5

Substituindo na fórmula da tangente:
Simplificando cada termo:

Passo 6

Vamos multiplicar todos os termos por 24 para eliminar os denominadores:
Isso simplifica para:

Passo 7

Vamos reorganizar os termos para deixar a equação na forma padrão :
Simplificando para raiz(3):

Resposta

A equação da reta tangente à elipse no ponto P é:

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