Encontrar o volume do sólido limitado acima pela esfera
e abaixo pelo cone
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria espacial! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que tá limitado de cima por uma esfera dada por
e de baixo por um cone descrito por
. Para isso, vamos usar cálculo integral, especialmente coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante nesse tipo de problema.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde a esfera e o cone se encontram. Isso ajuda a definir os limites de integração. Igualando as duas equações:
Substituindo
da segunda na primeira:
Como estamos abaixo da esfera e acima do cone, vamos considerar
.
Passo 3
Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde
,
e
. A equação da esfera fica:
E a do cone:
Passo 4
Identificamos que
varia do cone até a esfera. Então, para cada
,
vai de
até
.
Além disso, o
varia de 0 até onde o cone e a esfera se encontram, que vimos que ocorre em
. Substituindo na equação do cone:
Passo 5
Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume
:
O fator
vem do jacobiano das coordenadas cilíndricas.
Passo 6
Vamos integrar primeiro em relação a
:
Passo 7
Agora, a integral fica:
Podemos separar em duas integrais:
Passo 8
Integrando em relação a
primeiro:
Ent��o,
Passo 9
Vamos resolver a primeira integral usando substituição. Seja
, então
, ou
. Quando
,
; quando
,
. Assim:
Integrando:
Passo 10
Agora, resolvemos a segunda integral:
Então,
Passo 11
Substituindo de volta na expressão para
:
Resposta
O volume do sólido é
unidades cúbicas.