Encontrar o volume do sólido limitado acima pela esfera x^2 + y^2 + z^2 = 16 e abaixo pelo cone 3 z^2 = x^2 + y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria espacial! A gente precisa encontrar o volume de um sólido que tá limitado de cima por uma esfera dada por e de baixo por um cone descrito por . Para isso, vamos usar cálculo integral, especialmente coordenadas cilíndricas, que facilitam bastante nesse tipo de problema.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde a esfera e o cone se encontram. Isso ajuda a definir os limites de integração. Igualando as duas equações:
Substituindo da segunda na primeira:
Como estamos abaixo da esfera e acima do cone, vamos considerar .

Passo 3

Agora, vamos mudar para coordenadas cilíndricas, onde , e . A equação da esfera fica:
E a do cone:

Passo 4

Identificamos que varia do cone até a esfera. Então, para cada , vai de até .
Além disso, o varia de 0 até onde o cone e a esfera se encontram, que vimos que ocorre em . Substituindo na equação do cone:

Passo 5

Agora, montamos a integral tripla em coordenadas cilíndricas para calcular o volume :
O fator vem do jacobiano das coordenadas cilíndricas.

Passo 6

Vamos integrar primeiro em relação a :

Passo 7

Agora, a integral fica:
Podemos separar em duas integrais:

Passo 8

Integrando em relação a primeiro:
Ent��o,

Passo 9

Vamos resolver a primeira integral usando substituição. Seja , então , ou . Quando , ; quando , . Assim:
Integrando:

Passo 10

Agora, resolvemos a segunda integral:
Então,

Passo 11

Substituindo de volta na expressão para :

Resposta

O volume do sólido é unidades cúbicas.

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