Calcule: integral dupla3 e^(x^2+y^2) d x d y, onde B é a região semicircular limitada pelo eixo x e a curva y=raiz1-x^2

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que você precisa fazer! Temos que calcular a integral dupla de sobre uma região semicircular B. Essa região é limitada pelo eixo e pela curva , o que significa que é um semicírculo de raio 1 acima do eixo . Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar essa integração, já que estamos lidando com círculos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por , onde é a distância do ponto até a origem e é o ângulo em relação ao eixo . Isso é útil para integrais sobre regiões circulares porque simplifica os limites de integração.

Passo 3

Vamos converter a função x^2 + y^2 = r^2 (cos^2(theta) + sin^2(theta)) = r^2 para coordenadas polares. Sabemos que e . Então:
Portanto, a função fica .

Passo 4

Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como estamos integrando sobre um semicírculo de raio 1 acima do eixo , vai de 0 a 1 e vai de 0 a (180 graus).

Passo 5

Lembre-se que, ao mudar para coordenadas polares, o elemento de área integral duplaB e^x^2 + y^2 , dx , dy = integral0^pi integral0^1 e^r^2 cdot r , dr , dtheta se transforma em . Assim, nossa integral dupla fica:

Passo 6

Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a integral0^1 e^r^2 cdot r , dr :
12 integral0^1 e^u , du = 12 [ e^u ]0^1 = 12 (e^1 - e^0) = 12 (e - 1)
Fazendo a substituição , então , ou seja, . A integral se torna:

Passo 7

Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
integral0^pi 12 (e - 1) , dtheta = 12 (e - 1) integral0^pi dtheta = 12 (e - 1) cdot pi = pi (e - 1)2

Resposta

pi (e - 1)2

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