Calcule: $\iint_{3} e^{\left(x^{2}+y^{2}\right)} d x d y$, onde B é a região semicircular limitada pelo eixo $x$ e a curva $y=\sqrt{1-x^{2}}$
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você precisa fazer! Temos que calcular a integral dupla de
sobre uma região semicircular B. Essa região é limitada pelo eixo
e pela curva
, o que significa que é um semicírculo de raio 1 acima do eixo
. Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar essa integração, já que estamos lidando com círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por
, onde
é a distância do ponto até a origem e
é o ângulo em relação ao eixo
. Isso é útil para integrais sobre regiões circulares porque simplifica os limites de integração.
Passo 3
Vamos converter a função
para coordenadas polares. Sabemos que
e
. Então:
Portanto, a função fica
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como estamos integrando sobre um semicírculo de raio 1 acima do eixo
,
vai de 0 a 1 e
vai de 0 a
(180 graus).
Passo 5
Lembre-se que, ao mudar para coordenadas polares, o elemento de área
se transforma em
. Assim, nossa integral dupla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. A integral se torna:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa:
Resposta
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.464ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“17.229ex” height=“2.351ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 7615.1 1038.9”><title>x^2 + y^2 + z^2 = 16</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msup”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 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<html><head></head><body><div>Calcular a massa e o centro de massa do sólido T, delimitado por <span class="math-inline ">
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“11.815ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 5222.3 1000”><title>cm P(x, y, z)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“63” d=“M370 305T349 305T313 320T297 358Q297 381 312 396Q317 401 317 402T307 404Q281 408 258 408Q209 408 178 376Q131 329 131 219Q131 137 162 90Q203 29 272 29Q313 29 338 55T374 117Q376 125 379 127T395 129H409Q415 123 415 120Q415 116 411 104T395 71T366 33T318 2T249 -11Q163 -11 99 53T34 214Q34 318 99 383T250 448T370 421T404 357Q404 334 387 320Z”></path><path data-c=“6D” d=“M41 46H55Q94 46 102 60V68Q102 77 102 91T102 122T103 161T103 203Q103 234 103 269T102 328V351Q99 370 88 376T43 385H25V408Q25 431 27 431L37 432Q47 433 65 434T102 436Q119 437 138 438T167 441T178 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<div>Vamos provar que <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
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<div>Vamos provar que <span class="math-inline " data-overflow=“visible”>
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