Calcule:
, onde B é a região semicircular limitada pelo eixo
e a curva
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que você precisa fazer! Temos que calcular a integral dupla de
sobre uma região semicircular B. Essa região é limitada pelo eixo
e pela curva
, o que significa que é um semicírculo de raio 1 acima do eixo
. Vamos precisar usar coordenadas polares para facilitar essa integração, já que estamos lidando com círculos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são coordenadas polares. Em coordenadas polares, qualquer ponto no plano é representado por
, onde
é a distância do ponto até a origem e
é o ângulo em relação ao eixo
. Isso é útil para integrais sobre regiões circulares porque simplifica os limites de integração.
Passo 3
Vamos converter a função
para coordenadas polares. Sabemos que
e
. Então:
Portanto, a função fica
.
Passo 4
Agora, precisamos determinar os limites de integração em coordenadas polares. Como estamos integrando sobre um semicírculo de raio 1 acima do eixo
,
vai de 0 a 1 e
vai de 0 a
(180 graus).
Passo 5
Lembre-se que, ao mudar para coordenadas polares, o elemento de área
se transforma em
. Assim, nossa integral dupla fica:
Passo 6
Vamos resolver a integral interna primeiro, que é em relação a
:
Fazendo a substituição
, então
, ou seja,
. A integral se torna:
Passo 7
Agora, substituímos o resultado da integral interna na integral externa: