Calcular a massa de uma lâmina que tem a forma do cone
entre os planos
e
se a densidade é proporcional à distância ao eixo
. Resp:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a massa de uma lâmina em formato de cone definido pela equação
, entre os planos
e
. A densidade dessa lâmina é proporcional à distância do ponto ao eixo
. Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais duplas e coordenadas cilíndricas, que nos ajudam a lidar com formas circulares como cones.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender como a densidade varia. A densidade é proporcional à distância ao eixo
, ou seja,
, onde
é uma constante de proporcionalidade. Em coordenadas cilíndricas, a distância de um ponto
ao eixo
é simplesmente
. Então, nossa densidade fica
.
Passo 3
Agora, vamos encontrar o elemento de área na superfície do cone. A equação do cone
em coordenadas cilíndricas fica
. Para calcular a área, usamos a fórmula
. Derivando
em relação a
, temos
. Então,
.
Passo 4
Com a densidade
e o elemento de área
, podemos montar a integral para a massa:
Isso simplifica para:
Passo 5
Vamos resolver a integral interna em relação a
:
Passo 6
Agora, a integral externa em relação a
:
Passo 7
Multiplicando tudo, temos:
Resposta
A massa da lâmina é
.