Calcular a massa de uma lâmina que tem a forma do cone z^2 = x^2 + y^2 entre os planos z = 1 e z = 4 se a densidade é proporcional à distância ao eixo O z. Resp: (2 * raiz(2) * k * pi * 63) / 3

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a massa de uma lâmina em formato de cone definido pela equação , entre os planos e . A densidade dessa lâmina é proporcional à distância do ponto ao eixo . Para resolver isso, vamos usar cálculo de integrais duplas e coordenadas cilíndricas, que nos ajudam a lidar com formas circulares como cones.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a densidade varia. A densidade é proporcional à distância ao eixo , ou seja, â, onde é uma constante de proporcionalidade. Em coordenadas cilíndricas, a distância de um ponto ao eixo é simplesmente . Então, nossa densidade fica .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o elemento de área na superfície do cone. A equação do cone em coordenadas cilíndricas fica . Para calcular a área, usamos a fórmula . Derivando em relação a , temos . Então, .

Passo 4

Com a densidade e o elemento de área , podemos montar a integral para a massa:
Isso simplifica para:

Passo 5

Vamos resolver a integral interna em relação a :

Passo 6

Agora, a integral externa em relação a :

Passo 7

Multiplicando tudo, temos:

Resposta

A massa da lâmina é .

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