Determine o valor de
que torna
contínua em
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida de forma diferente quando
e quando
. O objetivo é encontrar o valor de
que faz a função
ser contínua no ponto
.
Conteúdo da matéria: Continuidade de funções de duas variáveis.
O que vamos precisar para resolver:
- Compreender o conceito de limite em duas variáveis.
- Saber que, para a função ser contínua em
, o limite de quando se aproxima de deve ser igual a .
Passo 2
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de
. Se esse limite existir e for igual a
, então a função será contínua nesse ponto.
A função é dada por:
Vamos analisar o limite:
Passo 3
Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que para qualquer real
. Portanto:
Assim, podemos escrever:
Passo 4
Agora, precisamos encontrar uma estimativa para
. Observe que:
Portanto:
Passo 5
Sabemos que:
E como
, pelo Teorema do Squeeze (Apreensão), temos que:
Assim, o limite original também é zero.
Resposta
O valor de
que torna
contínua em
é
.