Determine o valor de L que torna f contínua em (0,0)
f(x, y)= |x y| sen(x^2-2 y^3)raizx^6+y^2 & se (x, y) neq(0,0) L & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente quando e quando . O objetivo é encontrar o valor de que faz a função ser contínua no ponto .
Conteúdo da matéria: Continuidade de funções de duas variáveis.
O que vamos precisar para resolver:
  • Compreender o conceito de limite em duas variáveis.
  • Saber que, para a função ser contínua em , o limite de quando se aproxima de deve ser igual a .

Passo 2

Vamos calcular o limite de f(x, y) = |x y| sen(x^2-2 y^3)raizx^6+y^2 & se (x, y) neq(0,0) L & se (x, y)=(0,0) quando lim(x, y) to (0,0) |x y| sen(x^2-2 y^3)raizx^6+y^2 se aproxima de . Se esse limite existir e for igual a , então a função será contínua nesse ponto.
A função é dada por:
Vamos analisar o limite:

Passo 3

Primeiro, vamos simplificar a expressão. Sabemos que para qualquer real |sen(x^2-2 y^3)| <= 1 . Portanto:
Assim, podemos escrever:

Passo 4

Agora, precisamos encontrar uma estimativa para raizx^6 + y^2 >= raizy^2 = |y| . Observe que:
|x y|raizx^6+y^2 <= |x y||y| = |x|
Portanto:

Passo 5

Sabemos que:
lim(x, y) to (0,0) |x| = 0
E como lim(x, y) to (0,0) |x y|raizx^6+y^2 = 0 , pelo Teorema do Squeeze (Apreensão), temos que:
Assim, o limite original também é zero.

Resposta

O valor de que torna contínua em é .

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