Para calcular a média e a variância de uma variável aleatória discreta XXX, usamos as seguintes fórmulas:

1. Média (Esperança) de X

A média E(X) é dada por:
E(X)=sumi xi cdot P(X=xi)
onde xi são os valores possíveis de X e P(X=xi) são as respectivas probabilidades.

2. Variância de X

A variância Var(X) é calculada como:
Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
onde:
  • E(X^2)=sumi xi^2 cdot P(X=xi).
    Usando os valores e probabilidades fornecidos, vou calcular a média e a variância. Parece que o ambiente de execução foi reiniciado, então perdi o código e os dados anteriores. Vou refazer os cálculos da média e variância com as informações iniciais.

Dados do problema

A variável X representa o número de reclamações, com os seguintes valores e probabilidades:
  • X=0, P(X=0)=0,05
  • X=1, P(X=1)=0,20
  • X=2, P(X=2)=0,35
  • X=3, P(X=3)=0,25
  • X=4, P(X=4)=0,15
    Método 1: Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2
  1. Cálculo da Média E(X) :
E(X)=0 times 0.05+1 times 0.20+2 times 0.35+3 times 0.25+4 times 0.15=2.25
  1. Cálculo de E(X^2) :
E(X^2)=0^2 times 0.05+1^2 times 0.20+2^2 times 0.35+3^2 times 0.25+4^2 times 0.15
Calculando cada termo:
  • 0^2 times 0.05=0
  • 1^2 times 0.20=0.20
  • 2^2 times 0.35=1.40
  • 3^2 times 0.25=2.25
  • 4^2 times 0.15=2.40
    Somando os resultados: E(X^2)=0+0.20+1.40+2.25+2.40=6.25
    Cálculo da Variância:
    Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2=6.25-(2.25)^2=6.25-5.0625=1.1875
    Método 2: Var(X)=sum(xi-E(X))^2 cdot P(X=xi)
  1. Calcule a média E(X)=2.25 (como calculado anteriormente).
  2. Calcule cada termo (xi-E(X))^2 cdot P(X=xi) :
  • Para X=0:(0-2.25)^2 times 0.05=2.53125 times 0.05=0.1265625
  • Para X=1:(1-2.25)^2 times 0.20=1.5625 times 0.20=0.3125
  • Para X=2:(2-2.25)^2 times 0.35=0.0625 times 0.35=0.021875
  • Para X=3:(3-2.25)^2 times 0.25=0.5625 times 0.25=0.140625
  • Para X=4:(4-2.25)^2 times 0.15=3.0625 times 0.15=0.459375
  1. Somando os termos:
    Var(X)=0.1265625+0.3125+0.021875+0.140625+0.459375=1.1875

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcularmos a média (Esperança) e a variância de uma variável aleatória discreta, que aqui chamamos de . Para isso, vamos usar as fórmulas de média e variância, que fazem parte da estatística básica. Precisamos saber quais são os possíveis valores de e as probabilidades associadas a cada um deles.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média E(X) = sumi xi cdot P(X = xi) . A média é tipo a “média aritmética” dos valores que pode assumir, ponderada pelas suas probabilidades. A fórmula para isso é:
Aqui, são os valores possíveis de e são as probabilidades de cada valor.

Passo 3

Vamos aplicar os valores dados no problema:
  • E(X) = 0 times 0,05 + 1 times 0,20 + 2 times 0,35 + 3 times 0,25 + 4 times 0,15
  • E(X) = 0 + 0,20 + 0,70 + 0,75 + 0,60 = 2,25
Agora, calculando cada termo da soma:
Fazendo as multiplicações:
Somando tudo:

Passo 4

Agora que temos a média Var(X) = E(X^2) - [E(X)]^2 , vamos calcular a variância E(X^2) = sumi xi^2 cdot P(X = xi) . A variância nos diz o quanto os valores de E(X^2) = 0 + 0,20 + 1,40 + 2,25 + 2,40 = 6,25 estão espalhados em relação à média. Existem duas maneiras de calcular isso, e vamos fazer pelas duas para garantir.
Método 1:
A fórmula é:
Var(X) = 6,25 - (2,25)^2 = 6,25 - 5,0625 = 1,1875
Primeiro, precisamos calcular Var(X) = sum (xi - E(X))^2 cdot P(X = xi) , que é a média do quadrado dos valores de (0 - 2,25)^2 times 0,05 = ( -2,25 )^2 times 0,05 = 5,0625 times 0,05 = 0,253125 :
(1 - 2,25)^2 times 0,20 = ( -1,25 )^2 times 0,20 = 1,5625 times 0,20 = 0,3125
Vamos calcular cada termo:
  • (2 - 2,25)^2 times 0,35 = ( -0,25 )^2 times 0,35 = 0,0625 times 0,35 = 0,021875
  • (3 - 2,25)^2 times 0,25 = (0,75)^2 times 0,25 = 0,5625 times 0,25 = 0,140625
  • (4 - 2,25)^2 times 0,15 = (1,75)^2 times 0,15 = 3,0625 times 0,15 = 0,459375
  • Var(X) = 0,253125 + 0,3125 + 0,021875 + 0,140625 + 0,459375 = 1,1875
Somando tudo:
Agora, aplicando na fórmula da variância:
Método 2:
Outra forma de calcular a variância é usando a f��rmula direta:
Vamos calcular cada termo:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
Somando todos os termos:

Resposta

A média de é 2,25 e a variância de é 1,1875.

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