Um pesquisador está estudando o número de reclamações recebidas por uma central de atendimento em um determinado dia. A variável aleatória XX representa o número de reclamações e pode assumir os valores X=0,1,2,3,4, as seguintes probabilidades associadas, 0,05; 0,20; 0,35; 0,25; 0,15. calcule a média e a variância

Passo 1

Vamos lá! O problema fala sobre o número de reclamações que uma central de atendimento recebe em um dia. A gente tem uma variável aleatória que pode ser 0, 1, 2, 3 ou 4 reclamações, com as probabilidades de 0,05; 0,20; 0,35; 0,25 e 0,15, respectivamente. Nosso objetivo aqui é calcular a média e a variância dessa distribuição. Para isso, vamos usar conceitos de estatística sobre variáveis aleatórias discretas.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média (ou valor esperado) de E[X] = sumi xi cdot P(xi) . A média nos dá uma ideia de qual é o número médio de reclamações que a central recebe por dia. A fórmula para calcular a média é:
Isso significa que multiplicamos cada valor possível de pela sua respectiva probabilidade e somamos tudo.

Passo 3

Vamos aplicar a fórmula com os valores que temos:
E[X] = 0 cdot 0,05 + 1 cdot 0,20 + 2 cdot 0,35 + 3 cdot 0,25 + 4 cdot 0,15
Calculando cada termo:
E[X] = 0 + 0,20 + 0,70 + 0,75 + 0,60 = 2,25
Então, a média de reclamações por dia é 2,25.

Passo 4

Agora, vamos calcular a variância de Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2 , que nos mostra o quanto os números de reclamações variam em torno da média. A fórmula para a variância é:
Primeiro, precisamos calcular , que é a média dos quadrados dos valores de .

Passo 5

Vamos calcular E[X^2] = 0^2 cdot 0,05 + 1^2 cdot 0,20 + 2^2 cdot 0,35 + 3^2 cdot 0,25 + 4^2 cdot 0,15 :
E[X^2] = 0 cdot 0,05 + 1 cdot 0,20 + 4 cdot 0,35 + 9 cdot 0,25 + 16 cdot 0,15 = 0 + 0,20 + 1,40 + 2,25 + 2,40 = 6,25
Calculando cada termo:

Passo 6

Agora, aplicamos a fórmula da variância:
Var(X) = 6,25 - (2,25)^2 = 6,25 - 5,0625 = 1,1875

Resposta

A média de reclamações por dia é 2,25 e a variância é 1,1875.

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