Calcular a média e a variância da variável , onde assume os valores , equiprovavelmente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a média e a variância de uma variável que pode assumir os valores com a mesma probabilidade. Isso nos leva a trabalhar com distribuição uniforme discreta. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a média e a variância para esse tipo de distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média (ou valor esperado) de . A média de uma distribuição uniforme discreta é a soma de todos os valores possíveis de multiplicados pela sua probabilidade. Como todos os valores têm a mesma probabilidade, que é , a fórmula da média fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a soma dos primeiros números naturais. Sabemos que:
Substituindo na fórmula da média:

Passo 4

Com a média pronta, vamos para a variância. A variância mede o quanto os valores de estão espalhados em relação à média. A fórmula da variância para uma distribuição discreta é:
Mas há uma maneira mais fácil de calcular usando a fórmula:
Primeiro, vamos encontrar , que é a média dos quadrados dos valores de :
Sabemos que:
Então:

Passo 5

Agora, substituímos e na fórmula da variância:
Vamos simplificar essa expressão:
Para subtrair essas frações, vamos achar um denominador comum, que é 12:
Simplificando o numerador:
Então:

Resposta

A média de é e a variância de é .

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