Calcular a média e a variância da variável X, onde X assume os valores 1,2,3, ldots, n, equiprovavelmente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a média e a variância de uma variável que pode assumir os valores com a mesma probabilidade. Isso nos leva a trabalhar com distribuição uniforme discreta. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a média e a variância para esse tipo de distribuição.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a média (ou valor esperado) de mu = 1n sumk=1^n k . A média de uma distribuição uniforme discreta é a soma de todos os valores possíveis de multiplicados pela sua probabilidade. Como todos os valores têm a mesma probabilidade, que é , a fórmula da média fica:

Passo 3

Agora, vamos calcular a soma dos primeiros sumk=1^n k = n(n + 1)2 números naturais. Sabemos que:
mu = 1n times n(n + 1)2 = n + 12
Substituindo na fórmula da média:

Passo 4

Com a média pronta, vamos para a variância. A variância mede o quanto os valores de sigma^2 = 1n sumk=1^n (k - mu)^2 estão espalhados em relação à média. A fórmula da variância para uma distribuição discreta é:
sigma^2 = E(X^2) - mu^2
Mas há uma maneira mais fácil de calcular usando a fórmula:
E(X^2) = 1n sumk=1^n k^2
Primeiro, vamos encontrar sumk=1^n k^2 = n(n + 1)(2n + 1)6 , que é a média dos quadrados dos valores de E(X^2) = 1n times n(n + 1)(2n + 1)6 = (n + 1)(2n + 1)6 :
Sabemos que:
Então:

Passo 5

Agora, substituímos sigma^2 = (n + 1)(2n + 1)6 - ( n + 12 )^2 e sigma^2 = (n + 1)(2n + 1)6 - (n + 1)^24 na fórmula da variância:
sigma^2 = 2(n + 1)(2n + 1)12 - 3(n + 1)^212 = 2(2n^2 + 3n + 1) - 3(n^2 + 2n + 1)12
Vamos simplificar essa expressão:
2(2n^2 + 3n + 1) - 3(n^2 + 2n + 1) = 4n^2 + 6n + 2 - 3n^2 - 6n - 3 = n^2 - 1
Para subtrair essas frações, vamos achar um denominador comum, que é 12:
sigma^2 = n^2 - 112
Simplificando o numerador:
Então:

Resposta

A média de é e a variância de é .

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