Calcular a média e a variância da variável
, onde
assume os valores
, equiprovavelmente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a média e a variância de uma variável
que pode assumir os valores
com a mesma probabilidade. Isso nos leva a trabalhar com distribuição uniforme discreta. Para resolver, vamos precisar entender como calcular a média e a variância para esse tipo de distribuição.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a média (ou valor esperado) de
. A média de uma distribuição uniforme discreta é a soma de todos os valores possíveis de
multiplicados pela sua probabilidade. Como todos os valores têm a mesma probabilidade, que é
, a fórmula da média fica:
Passo 3
Agora, vamos calcular a soma dos primeiros
números naturais. Sabemos que:
Substituindo na fórmula da média:
Passo 4
Com a média pronta, vamos para a variância. A variância mede o quanto os valores de
estão espalhados em relação à média. A fórmula da variância para uma distribuição discreta é:
Mas há uma maneira mais fácil de calcular usando a fórmula:
Primeiro, vamos encontrar
, que é a média dos quadrados dos valores de
:
Sabemos que:
Então:
Passo 5
Agora, substituímos
e
na fórmula da variância:
Vamos simplificar essa expressão:
Para subtrair essas frações, vamos achar um denominador comum, que é 12:
Simplificando o numerador:
Então:
Resposta
A média de
é
e a variância de
é
.