Consideremos dois dados, sendo um deles honesto e outro viciado com P(1)=1 / 2, P(2)= P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1 / 10. Escolhe-se aleatoriamente um dado e efetuam-se dois lançamentos, obtendo-se dois resultados iguais a 1 . Diante desse fato, qual é a probabilidade de que o dado escolhido tenha sido o viciado?

Passo 1

Então, vamos lá! A gente tem um exercício de probabilidade bem legal. Basicamente, temos dois dados: um é normal (honesto) e o outro é viciado. A gente escolhe um dos dados de forma aleatória, rola ele duas vezes e sai o número 1 nas duas vezes. A pergunta é: qual a chance de ter escolhido o dado viciado? Para resolver isso, vamos usar o Teorema de Bayes, que nos ajuda a calcular probabilidades condicionais.

Passo 2

Primeiro, vamos definir os eventos:
  • P(V) = P(H) = 12 : o dado escolhido é o viciado.
  • : o dado escolhido é o honesto.
  • : obter dois resultados iguais a 1.
Como escolhemos os dados aleatoriamente, a probabilidade de escolher o dado viciado ou o honesto é igual:

Passo 3

Agora, vamos calcular a probabilidade de obter dois 1’s com cada dado.
Para o dado honesto:
No dado honesto, a probabilidade de sair 1 em um lançamento é P(A|H) = (16) times (16) = 136 . Como os lançamentos são independentes, a probabilidade de sair 1 duas vezes é:

Passo 4

Para o dado viciado:
No dado viciado, a probabilidade de sair 1 em um lançamento é P(A|V) = (12) times (12) = 14 . Assim, a probabilidade de sair 1 duas vezes é:

Passo 5

Agora, vamos aplicar o Teorema de Bayes para encontrar P(V|A) = P(A|V) times P(V)P(A|V) times P(V) + P(A|H) times P(H) , a probabilidade de ter escolhido o dado viciado dado que saíram dois 1’s:
P(V|A) = 14 times 1214 times 12 + 136 times 12 = 1818 + 172 = 9721072 = 910
Substituindo os valores:

Resposta

A probabilidade de que o dado escolhido tenha sido o viciado é de ou 90%.

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